数据结构与算法(十)-红黑树(RedBlackTree)

红黑树的定义

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，具有以下性质：

1. 每个节点是红色或黑色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点（NIL节点）是黑色。
4. 如果一个节点是红色，其子节点必须是黑色。
5. 从任一节点到其每个叶子节点的路径包含相同数量的黑色节点。

红黑树的操作

红黑树的基本操作包括插入、删除和查找，其中插入和删除操作可能破坏红黑树的性质，需要通过旋转和重新着色来恢复平衡。

插入操作

插入新节点时，默认将其着色为红色，可能违反性质4。需要通过以下步骤调整：

• 如果父节点是黑色，无需调整。
• 如果父节点是红色且叔节点也是红色，重新着色父节点和叔节点为黑色，祖父节点为红色，递归调整祖父节点。
• 如果父节点是红色且叔节点是黑色或NIL，进行旋转操作并重新着色。

删除操作

删除节点时可能破坏性质5。调整步骤包括：

• 如果删除的是红色节点，无需调整。
• 如果删除的是黑色节点，需要通过旋转和重新着色恢复平衡。

旋转操作

红黑树的旋转分为左旋和右旋，用于调整树的结构：

• 左旋：将节点的右子节点提升为新的父节点。
• 右旋：将节点的左子节点提升为新的父节点。

时间复杂度

红黑树的操作时间复杂度为O(log n)，其中n为节点数量。由于其平衡性，红黑树在动态数据集合中表现优异。

应用场景

红黑树广泛应用于需要高效查找、插入和删除的场景，如：

• C++ STL中的map和set。
• Java中的TreeMap和TreeSet。
• 数据库索引结构。