解锁“二分魔法”：让算法题轻松找到答案的秘密（1）

解锁“二分魔法”：让算法题轻松找到答案的秘密（1）

前言：

小编在前几日书写了有关于滑动窗口算法题的解析，我承认我最近的学习态度是有问题了，感觉当前的我比前期的我贪玩多了，现在我幡然醒悟，继续开始算法博客的书写，当然，主线的博客我也会一直跟进的，现在小编废话不多说，开始进入今日的算法题讲解~

1.二分算法简介

1.1.二分算法的介绍

二分查找算法（Binary Search）是一种高效的查找算法，核心思想是“分而治之”，适用于在一个有序的数组中快速定位目标值。通过反复将查找范围对半缩小，二分算法显著降低了查找的复杂度，从线性 (O(n)) 降到对数级别 (O(\log n))。它的关键在于精确判断中间元素与目标值的关系，并灵活调整上下界，从而迅速锁定答案。尽管实现相对简单，但在细节处理上却需要严格考虑边界条件，稍有不慎可能出现死循环或逻辑错误。这种算法不仅是面试中的常客，也是高效数据处理的基础工具之一。

1.2.二分算法常出现的误区

二分查找算法虽然简单高效，但在实现过程中存在一些常见误区，可能导致逻辑错误或性能问题：

1. 边界处理不当

• 误区：容易在循环条件或中点计算时出错，例如在 low <= high 和 low < high 之间混淆，或者对中点更新后的边界范围处理不当。（这个误区详见小编之后讲的第二个模板的时候会体现出来）
• 修正：明确上下界的含义，确保在更新 low 和 high 时与循环条件一致。

2. 中点计算溢出

• 误区：直接计算中点 mid = (low + high) / 2 可能导致整数溢出，特别是在边界值较大的情况下。（这个用法我不推荐）
• 修正：使用 mid = low + (high - low) / 2 来避免溢出。（以后二分就用它）

3. 忽略重复值或特殊情况

• 误区：对数组中存在重复值的情况处理不当，可能导致无法正确返回目标的最左或最右位置。
• 修正：根据题目要求（如找最左边或最右边的目标值），在判断和更新范围时添加必要的逻辑。

4. 提前终止条件设置错误

• 误区：认为目标值一定存在于数组中，未处理目标值不存在的情况，可能导致返回错误的索引或死循环。
• 修正：在循环结束后，检查最终位置是否真的包含目标值。

5. 未考虑浮点数或非整数情况【这里写的稍微有点差错】

• 误区：将二分查找直接应用于浮点数或自定义对象时，忽略比较方法的精度或特性。
• 修正：对浮点数添加容差范围 (epsilon)，对自定义对象实现合理的比较逻辑。

6. 二分查找适用范围理解错误

• 误区：以为二分查找适用于所有场景，忽略了其前提条件——数组必须是有序的（其实这个是不一定的，数组无序的情况如果知道一些规律也是可以用二分的，这里我写博客写的有点问题，各位读者不要在这里犯错）。
• 修正：在使用前确保数据有序，必要时进行预处理。

7. 过早优化

• 误区：过于复杂化代码，为追求极致优化而牺牲可读性和鲁棒性。
• 修正：优先实现简单清晰的逻辑，确保功能正确后再进行优化。

二分查找看似简单，却隐藏了许多大坑，尤其是细节处理和边界条件，稍有不慎，我们就会跳入二分算法的大坑中，如果能克服这些误区，不仅能掌握算法本身，还能提高解决问题的严谨性和代码质量。

1.3.二分算法的误解

本来我是不想写这个小标题的，但是我突然发觉可能大多数读者对于二分算法的认知就是：把一个数组分成一半分别求解，其实这个说法是不规范的，在之后小编分享的算法题中，有部分题目不能直接咬死一半分，对于二分算法的正确认知，小编认为我们可以通过“二分性”进行二分算法的求解，可能很多读者朋友对于这个还是很陌生的，不要着急，待小编分享了许多题目后，相信做完这些题目的你便会知道这里的”二分性“到底是啥意思，下面废话不多说，待我讲述完二分算法的好处以后，就给各位讲述二分算法的第一个题目。

1.4.二分算法的好处

二分算法有一个和前面的算法题不一样的东西，就是它有模版，很多读者朋友看到这里，想必嘴角已经上扬了，因为模版可以帮助我们快速解决一个算法题，并且不用耗费脑子，仅需读懂题目，然后套用这个模版即可，当然我们肯定可以是这么做的，但是小编还是不推荐各位过度依赖模版的，因为有时候的二分题，光套用模版是做不出来的，但是我还是会讲述一下它们的，便于一些读者更方便的使用二分查找算法，模版一共有三种，今天小编先讲述其中一种——朴素的二分模版，剩下的小编会在下一篇文章讲解，下面废话不多说，正式开始我们今天的算法题目讲解。

2.二分查找

2.1.题目来源

老规矩，小编先给出本题目的来源：704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

2.2.题目解析

本题目的名字就和文章标题一样，所以其实这个题目就告诉了我们应该用什么方法来做这个题，那就是二分算法，当然具体的思路讲解会在后面写到的，这里我先简单的说一下本题目的解法，这个题目其实就是想让我们在一个有序的数组中查找一个目标值，如果找到了这个目标值，就返回它的下标，如果没有找到就返回-1就好，题目理解起来很简单，下面小编直接进行思路讲解。

2.3.题目思路讲解

1.暴力解法

如果这个题目不是这个标题的话，小编相信大多数读者朋友都会想要一个非常暴力的解法——把数组遍历一遍来寻找我们想要寻找的target，小编认为这个解法是很容易想出来的，当然，这么做的这个题目的时间复杂度也是有点高的（和二分的比较），那就是O(N)，N表示的数组的长度，如果数组中没有该元素的话那么我们就要遍历整个数组了，所以出现这样的情况也是很麻烦的，所以小编认为暴力解法我们想象就好了，实践的话还是不要用二分算法比较好，下面小编给出本题目正确的解法。

2.二分查找

本题目用的解题方法自然就是和题目名字一样的解法，那就是二分查找算法，想要使用二分查找算法，我们首先需要找到本题目的“二分性”，此时我们通过题目，可以知晓这是一个升序的数组，所以我们可以先找到升序数组中中间位置的值，之后让中间位置的值和给定的值进行比较，如果target比中间位置的值大，那么就从右边区间找；反之则就往左边找，通过一次次的二分区间，我们就可以找到想要的值，此时小编解答一下为什么我们要寻找中间位置的值——因为此时的数组是升序的，中间位置的值肯定是比左区间的值大的，此时它就可以作为一个标志，用来判定此时的target属于哪个区间的标志，当然我们也可以三分查找，四分查找等等，但是经过数据分析，二分查找是在这些查找中比较优秀的解法，所以我们还是中间分比较好，本题的解法就是这样，通过一次次二分区间来找到我们想要的数，因为是二分算法的第一次讲述，下面小编就用一个例子来帮助各位更好的理解二分算法。

为了本题目的广义性，小编就不用一个特殊的例子来给各位讲述二分了，取而代之的是用一个一定长度的数组来代替详细的例子，如下所示：

此时我们需要借助两个“指针”，来代表区间的首尾，一个指针指向数组的开头，用left表示；另一个指针指向数组的末尾，用right表示；之后我们需要先找到中间结点的位置，具体运算公式小编在上面体现出来了，这里我就不多说了，然后我们可以划分出两个区间：

此时我们比较target和mid位置数据的大小，如果目标值比mid大的话，那么我们就要往右边区间进行查找，此时我们让mid + 1直接称为左区间就可以，因为此时mid + 1之前的数肯定是比target小；如果此时target比mid位置的数据小，那么我们仅需在左边区间进行查找即可，此时我们让mid - 1称为右区间即可，之后经过我们不断的划分区间，直到left大于right或者找到目标值的时候，此时我们返回中间位置的下标或者返回-1表示没找到，上述就是本题目的思路讲解，下面小编进行代码实操。

2.4.代码实操

首先，我们需要先把二分查找的工具准备好，分别是左右指针，中间位置mid，代码如下所示：

int left = 0,right = nums.size() - 1,min = 0;

之后，我们就要开始进行二分查找了，因为我们需要不断的划分区间，所以此时我们需要用到循环来帮助我们解决问题，循环的条件自然是左右指针不能重合，下面给出这部分的代码：

 while(left <= right)
 {}

进入循环体，此时我们需要先找到中间位置，此时我们借助上面小编讲述的查找中间位置的方法即可，这么做可以避免数据溢出的情况，之后我们判断此时的mid位置的值和target的大小，如果target大于mid的话，那么我们就从mid右边区间进行查找，此时我们直接让left = mid + 1即可；如果此时的target小于mid的话，那么我们要在mid左区间进行查找，此时我们直接让right = mid - 1即可；如果相等的话，我们直接返回mid接即可；下面是本部分代码展示：

min = left + (right - left) / 2;  
if(nums[min] > target)
{
    right = min - 1;
}
else if(nums[min] < target)
{
    left = min + 1;
}
else
{
    return min;
}

最后，如果循环结束我们还是没有返回值，那么我们直接返回-1，代表数组里面没有我们想要的值，如下所示：

return -1;

2.4.朴素的二分模版

此时我们已经解决完了上面那道题，上面的那道题是在二分查找题目中小编认为是最简单的题目了，不过这个题的价值，是告诉了我们二分查找算法的第一个模版——朴素的二分模版，如果我们遇到一个二分查找算法，发现这个题目和此题目很相似的时候，我们就可以套用这个模版，下面小编给出这个模版，但是小编还是推荐各位遇到二分查找题目的时候，通过自己找到“二分性”来解决题目，而不是死记模版，有时候模版记错了，那么就可能gg了，用脑子做题，往往比死记硬背更好。

while(left <= right)
        {
            min = left + (right - left) / 2;  
            if(......)//根据题目填
            {
                right = min - 1;
            }
            else if(......)//根据题目填
            {
                left = min + 1;
            }
            else
            {
                return min;
            }
        }

2.5.完整题目代码展示

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0,right = nums.size() - 1,min = 0;
        while(left <= right)
        {
            min = left + (right - left) / 2;  //这样大概率是会溢出的
            if(nums[min] > target)
            {
                right = min - 1;
            }
            else if(nums[min] < target)
            {
                left = min + 1;
            }
            else
            {
                return min;
            }
        }
        return -1;
    }
};

3.总结

本篇文章到这里也就结束了，二分查找其实我们如果真的领悟了它的本质以后，这就是我们在所有的算法中最简单的算法（小编自我认为的，一千个读者就有一千个哈姆雷特），各位一定要好好领悟上面题目的解法，小编相信，各位读者朋友在看完我二分查找精选算法题的讲解的时候，以后当我们遇到二分查找算法的时候，直接可以“秒杀”（突然感觉我有点自信了），一起写算法题的时候总是短暂的，那么各位大佬们，我们下一篇文章见啦！