25、最优网络：从最小生成树到复杂网络结构

最优网络：从最小生成树到复杂网络结构

1. 最小生成树相关特性

最小生成树（MST）在网络优化中是一个重要的概念。对于 dEMST（一种扩展的最小生成树），其总长度 $L_{tot, dE MST} (N)$ 有如下关系：
$L_{tot, dE MST} (N) \sim \beta_{dE MST} (2)\sqrt{\Omega}\sqrt{N}$
其中 $\beta_{dE MST} \approx 1.0$，$\Omega$ 是嵌入域的体积。$\beta_{dE MST} > \beta_{E MST}$（当 $d = 2$ 时，$\beta_{E MST} \approx 0.6$），这是因为存在更长的链接。

链接长度 $\ell(t)$ 在不同时间有不同的表现：
- 当 $t < t^ $ 时，$\ell(t) \sim 1/\sqrt{t}$
- 当 $t > t^ $ 时，$\ell(t) \sim 1/\sqrt{N}$

这里，$N$ 是最终节点数，$t^ (N) \sim \alpha N$，且 $\alpha \approx 1/2$。dEMST 的总长度为：
$L_{tot, dE MST} = \sum_{t<t^ (N)} \frac{1}{\sqrt{t}} + L_{tot, E MST} (N - t^*(N))$
由此可得 $\beta_{dE MST} = 2\sqrt{\alpha} + \beta_{E MST}$，简单近似下 $\beta_{dE MST} \approx \sqrt{2} + \beta_{