18、空间网络中的镶嵌、分割与随机几何图模型

空间网络中的镶嵌、分割与随机几何图模型

在空间网络的研究中，有多种模型和方法可用于描述和分析不同的现象。本文将介绍几种重要的模型，包括裂纹和STIT镶嵌、平面分割以及随机几何图模型。

裂纹和STIT镶嵌

材料中的断裂和裂纹过程会导致平面的镶嵌。与Voronoi镶嵌不同，这种网络是通过线的生长而非单元的构建来生成的。

• Gilbert模型 ：对于逐步出现的裂纹，存在从长裂纹到短裂纹的层次顺序。Gilbert模型是这类过程的一个重要模型，它基于一组带有属性（这里是从特定分布，通常是[0, 2π]上的均匀分布中抽取的角度）的点。具体过程为：随机选择一个点，从该点沿相反方向生长边，直到与其他边相交停止。此过程生成的节点都是“T形”的，因为它们是线与线相交的结果。不过，该模型在数学上极难分析，原因是镶嵌强烈依赖于点的选择顺序。
• STIT镶嵌 ：STIT（迭代稳定性的缩写）镶嵌是由Nagel和Weiss引入的另一个过程。在其最简单的版本中，该模型是在随机时间用随机线分割多边形。这需要生成随机的时间间隔序列和随机线。如果时间t大于一个随机变量（由随机时间间隔之和构成），则所考虑的多边形会被随机线分割成两部分。这个过程会迭代应用于所有多边形，时间t控制着边的密度。该模型在随机几何研究中备受关注，可作为分层面分割的易处理模型，用于描述如裂纹形成等自然过程。

平面分割

平面分割是一般分割过程的一个特殊情况，需要考虑几何因素。以简单的矩形分割过程为例，随机选取一个点和一个方向（垂直或水平），按照Gilbert模型的思路构建一条线，直到