11、图形模型的表达能力与应用

图形模型的表达能力与应用

1. 链图模型

链图（Chain Graphs，CGs）包含有向和无向链接。为了更好地理解，我们来看一个例子（如图 4.6a）。从这个图中，我们能明确确定的概率项只有 p(a) 和 p(b)，因为在顶点 a 和 b 处没有有向和无向边的混合交互。根据概率规则，我们有：
[p(a, b, c, d) = p(a)p(b)p(c, d|a, b)]

从图中直观来看，我们可能会认为：
[p(c, d|a, b) = φ(c, d)p(c|a)p(d|b)]

但为了确保归一化并保持一般性，我们将其解释为：
[p(c, d|a, b) = φ(c, d)p(c|a)p(d|b)φ(a, b)]
其中：
[\varphi(a, b) \equiv \left(\sum_{c,d} \varphi(c, d)p(c|a)p(d|b)\right)^{-1}]

这就引出了将链图解释为链组件上的有向无环图（DAG）。

1.1 链组件的定义

链组件的获取步骤如下：
1. 从图 G 中移除有向边，形成图 G′。
2. 图 G′ 中的每个连通组件构成一个链组件。

每个链组件表示该组件变量的分布，条件是其父组件。条件分布本身是无向组件和道德化父组件的团的乘积，还包括一个确保链组件上分布归一化的因子。

链图 G 相关的分布通过先确定链组件 (τ) 及其相关变量 (X_τ) 来得到：
[p(x) = \prod_{\tau} p (X_{\tau}|pa (X_{\tau}))]
[p (X_