45、图带宽最小化问题中的相变研究

图带宽最小化问题中的相变研究

1. 引言

在计算领域，不同的计算问题解决难度各异。借助计算复杂性理论，可将计算问题分为P类（能在多项式时间内解决）和NP类（尚无已知的多项式时间算法来解决）。以图的带宽最小化问题（BMPG）为例，虽然它属于NP问题，但在某些特定情况下，如限制为最大毛发长度等于2的毛毛虫图时，该问题较易解决；而当最大毛发长度等于3时，问题仍为NP完全问题。那么，真正困难的实例究竟存在于何处呢？

近年来，优化问题的难度本质备受关注。相变现象已在一些NP完全问题中得到研究，如哈密顿回路、旅行商问题（TSP）、色数、顶点覆盖、独立集、K - 可满足性（K - SAT）和约束满足问题等。本文聚焦于BMPG实例求解计算成本中的临界行为，通过一组节点数从16到25的随机连通图进行实验，并采用分支限界算法来确定实例求解的计算成本。

2. 带宽最小化问题

BMPG可定义如下：设 $G = (V, E)$ 为无向图，其中 $V$ 是顶点集，基数为 $n = |V|$，$E ⊆ V × V = { {i, j}|i, j ∈ V}$ 是边集，基数为 $m = |E|$。给定一个一对一的标记函数 $\tau : V → 1, 2, …, n$，图 $G$ 对于 $\tau$ 的带宽 $\beta$ 定义为：
$\beta_{\tau} = max{|\tau(i) - \tau(j)| : (i, j) ∈ E}$

BMPG的目标是找到一个标记 $\tau^ $，使得 $\beta_{\tau^ }(G)$ 最小，用数学公式表示为：
$\beta_{\tau^*}(G) = min{\