15、相平面分析：从理论到应用

相平面分析：从理论到应用

1. 相平面分析简介

在处理相互作用的种群模型时，我们常常会得到一对非线性、耦合的微分方程。之前我们使用Maple对这些方程进行数值求解，但每个解都对应特定的初始条件和参数组合。而实际中这样的组合有无穷多种，所以我们需要其他工具来全面理解系统的行为。

相平面分析是一种有效的方法，它通过找到平衡点（导数为零的点）并从微分方程中消除时间变量（将耦合的微分方程转化为单个一阶微分方程），来深入了解系统解的行为。我们还对系统的长期行为感兴趣，例如种群是否会灭绝、疾病是否会周期性复发等。

1.1 简单示例：线性微分方程组

考虑如下一对一阶（线性）微分方程：
[
\begin{cases}
\frac{dX}{dt} = Y \
\frac{dY}{dt} = -X
\end{cases}
]

1.1.1 平衡点

平衡点对应于耦合微分方程组中解为常数的情况，即(\frac{dX}{dt} = 0)且(\frac{dY}{dt} = 0)同时成立。对于上述方程，可得(Y = 0)，(X = 0)，所以((X, Y) = (0, 0))是唯一的平衡解。

1.1.2 轨迹和相平面示意图

我们将((X, Y))平面称为相平面。将该平面划分为四个象限，在第一象限中，(X > 0)且(Y > 0)，此时(\frac{dX}{dt} = Y > 0)，(\frac{dY}{dt} = -X < 0)，这意味着(X(t))增加，(Y(t))减少，我们可以得到该象限中任何解的方向向量。同理分析