4、向量近似的泰勒级数方法解析

向量近似的泰勒级数方法解析

1. 矩阵Mpdx的定义

在处理具有分布式参数的线性过程时，矩阵Mpdx的定义是基于泰勒级数的迭代使用，并以表格结构呈现，其形式依赖于偏微分方程（PDE）。对于更一般的情况，考虑一个时间变量 (t) 和三个空间变量 (p)、(q)、(r)，矩阵Mpdx被称为“状态向量的偏导数矩阵”。

1.1 相关向量和矩阵的定义

• 状态向量 (x(n \times 1)) ：包含与积分变量相关的变量，这里任意将时间 (t) 作为积分变量，例如包含 (x_{0000}, x_{1000}, \cdots, x_{n - 1,000})。
• 向量 (x_T(N \times 1)) ：由状态向量 (x) 对时间依次求导得到，从 (x_{n,000}) 到 (x_{n - 1 + N,000})，且元素数量 (N \geq n)。
• 矩阵 (x_{PQR}(n \times M)) ：由状态向量对 (p)、(q) 和 (r) 的 (M) 个偏导数组成，包含从一阶到 (N) 阶甚至更高阶的所有偏导数。
• 矩阵 (x_{TPQR}(N \times M)) ：是矩阵 (x_{PQR}(n \times M)) 对时间 (t) 的偏导数矩阵。

1.2 矩阵Mpdx的迭代计算

矩阵Mpdx ([(n + N) \times (1 + M)]) 对于足够小的积分步长 (\Delta t)，分两个阶