01背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

/*测试程序*/
 

Code:

1. #include <stdio.h>   
2. #include <stdlib.h>   
3. #define NUM 5   
4. #define MAXWEI 10   
5.   
6. int maxval[NUM + 1][MAXWEI + 1];   
7. /*物品下标从1开始*/  
8. int val[NUM + 1] = {0, 6, 3, 5, 4, 6};   
9. int wei[NUM + 1] = {0, 2, 2, 6, 5, 4};   
10.   
11. int Max(int a, int b)   
12. {   
13.     if(a > b)   
14.         return a;   
15.     return b;   
16. }   
17. int MaxVal()   
18. {   
19.     int i, j;   
20.     int k;   
21.   
22.     for(i = 1; i <= NUM; i++)   
23.     {   
24.         for(j = 0; j <= MAXWEI; j++)   
25.         {   
26.             k = j - wei[i];   
27.             if(k > 0)   
28.             {   
29.                 maxval[i][j] = Max(maxval[i - 1][j], maxval[i - 1][j - wei[i]] + val[i]);   
30.             }   
31.             else  
32.             {   
33.                 maxval[i][j] = maxval[i - 1][j];   
34.             }   
35.         }   
36.     }   
37.     return maxval[NUM][MAXWEI];   
38. }   
39. int main(void)   
40. {   
41.     int i, j;   
42.     int mv;   
43.   
44.     for(i = 0; i <= NUM; i++)   
45.     {   
46.         for(j = 0; j <= MAXWEI; j++)   
47.         {   
48.             maxval[i][j] = 0;   
49.         }   
50.     }   
51.     mv = MaxVal();   
52.     printf("%d/n", mv);   
53.     return 0;   
54. }