双加权最小二乘法拟合S-N曲线（Matlab）

双加权最小二乘法拟合S-N曲线（Matlab）

简介

本文的数据和算法思想均来自于《结构疲劳寿命分析》第二章——金属材料的疲劳性能。我借助Matlab实现了这个算法并绘制出了S-N曲线。

算法

双加权最小二乘法的拟合步骤如下：

1. 给出$S_0$的初始值$\widehat{S_0}\le S_e$，可以取$S_e$为$S_0$的迭代初始值。

2. 计算第$i$组的试验数据的对数寿命均值$\overline{y_i}$和标准差${\delta }_i$。

3. 计算第$i$组试验数据的对数寿命均值置信区间长度：
   $$d_i=2t_{\alpha /2}(m_i-1)\frac{{\sigma }_i}{m_i}$$
   计算各应力水平下的权重系数：
   $${\omega }_i=\frac{1}{d_i\times {\sum }_{j=1}^n\frac{1}{d_j}}$$
   写出加权矩阵：
   $$W=\left[\begin{array}{ccc}{\omega }_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\omega }_n\end{array}\right]$$
   其中${\sigma }_i$为对数寿命样本标准差，$t_{\alpha /2}$为t分布百分位数，$m_i$是应力$S_{maxi}$时的疲劳试验样本数。

4. 计算拟合曲线参数的列向量 a = { a 1 , a 2 } T a=\{a_1,a_2\}^T a={ a1​,a2​}T：

$$a=(G^{T}WG{)}^{-1}{G}^{T}WY$$

a = { a 1 , a 2 } T Y = { y 1 , y 2 , ⋯ y n } T G = [ 1 x 1 ⋮ ⋮ 1 x n ] = [ 1 l g ( S m a x 1 − S 0 ^ ) ⋮ ⋮ 1 l g ( S m a x n − S 0 ^ ) ] a=\{a_1,a_2\}^T \\ Y=\{y_1,y_2,\cdots y_n\}^T \\ G=\begin{bmatrix} 1&x_1\\ \vdots&\vdots \\ 1&x_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&lg(S_{max1}-\hat{S_0})\\ \vdots&\vdots \\ 1&lg(S_{maxn}-\hat{S_0}) \end{bmatrix} a={ a1​,a2​}