视觉slam十四讲 学习笔记-3（李群和李代数）

第一次听没有怎么懂这一章节，后来又重新学习了一遍才弄懂了一点。我发现pdf教材一行一行抠细节全部看一遍还是能够理解的，很多推导和逻辑都比视频清晰很多。

目录

李群和李代数：

李群 ：

李代数引出：

李代数定义：

指数和对数的映射

以上总结

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总结：

旋转矩阵这东西呢属于李群(T由Rt组成)，用李群的性质一推，发现旋转矩阵可以映射成指数函数，指数函数上面的指数即李代数，而指数函数可以泰勒展开，展开完的结论发现李代数这东西其实就是旋转向量。再引入个bch公式，旋转矩阵的乘法就转换成李代数形式的加法，最后就可以定义导数了。所以归根结底，引入李群李代数是为了定义怎么对变换过程求导。

 每对旋转矩阵求一次导数,只需左乘一个 φ ∧ (t) 矩阵即可

得出：

 其中R(t)为旋转矩阵（李群），之后会推出 φ为李代数。上式称为指数映射。

我们对进行泰勒展开：

 

再对其化简得到：

 它和罗德里格斯公式一样，所以so(3) （李代数）实际上就是由所谓的旋转向量组成的空间。

BCH公式： 

 

其中

解释：

其中J为：

 

现有一个观测数据：

理想观测和实际观测的误差为：

现在有多组这样的观测，每组都有一个误差，我们想要找到一个T让这个误差的和也就是整体误差尽量小：

J是关于T的函数，所以我们需要对T求导才可以求出J的最小值。

这里我们利用导数的定义分为两种思路求解：

第一种:

 第二种

结论：

李群和李代数：

用于在a'=Ra+t中对于R进行微调的情况，因为R是一个正交矩阵，不能像向量一样对其进行直接的简单相加。其中det表示的是行列式。

SO3（只有旋转矩阵）和SE3（旋转和平移）：

 其中表示3*3的矩阵

 群是一种集合加上一种运算的代数结构

李群 ：

每个李群都有对应的李代数

李代数引出：

可以看出 是一个反对称矩阵

 之前两个向量进行叉乘出来的矩阵就是一个反对称矩阵，这里我们引入了∧符号，将一个向量变成了反对称矩阵。同理，对于任意反对称矩阵，我们亦能找到一个与之对应的向量。把这个运算用符号∨表示。即：

 向量a叉乘出来的反对称矩阵就是A，反对称矩阵A的乘出来的向量就是a。

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个 φ ∧ (t) 矩阵即可。

为方便讨论，我们设（为了方便讨论），并设此时旋转矩阵为 R(0) = I。按照导数定义，可以把 R(t) 在 0 附近进行一阶泰勒展开:

因为上式，我们就说 反映了 R 的导数性质，就称在 SO(3) 原点附近的正切空间 (Tangent
Space) 上。 

我们看到，旋转矩阵 R 与另一个反对称矩阵  通过指数关系发生了联系。也就是说，当我们知道某个时刻的 R 时，那么就一定存在一个向量 ，它们满足这个矩阵指数关系，此时的就是一个种李代数。

李代数定义：

李代数描述的是李群的局部性质，就像上面的SO(3)的李群的李代数so(3)（一个三维向量或者是三维向量组成的反对称矩阵）就是描述的SO(3)的局部性质。

此时的就是一个种李代数，SO(3) 对应的李代数是定义在上的向量,我们记作 

由于 φ 与反对称矩阵关系很紧密,在不引起歧义的情况下,就说 so(3) 的元素是 3 维向量或者 3 维反对称矩阵，两者不进行区分。

至此，我们已清楚了 so(3) 的内容。它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应了一个反对称矩阵，这个矩阵表达的是旋转矩阵的导数。它与 SO(3) 的关系由指数映射给定:

同理SE(3)也对应一个李代数se(3)（书中没有进行详细介绍）

我们把每个 se(3) 元素记作 ξ,它是一个六维向量。前三维为平移,记作 ρ;后三维为旋转,记作 φ,实质上是 so(3) 元素  。

在这里我们拓展了∧符号的含义，在这里不在表示向量和反对城矩阵之间叉乘的关系，我们使用∧和∨符号来指代“从向量到矩阵”和“从矩阵到向量”的关系（之前的SO3的对应的向量到矩阵的关系是进行自我叉乘形成反对城矩阵的关系），以保持和 so(3) 上的一致性。

指数和对数的映射

由于 φ 是三维向量,我们可以定义它的模长和它的方向,分别记作 θ 和 a,于是有 φ = θa，这里 a 是一个长度为 1 的方向向量。首先,对于 ,有以下两条性质:

所以4.19中的式子可以变成：

同理se(3)也可以进行相应的推导

BCH 公式与近似形式

虽然我们已经清楚了 SO(3) 和 SE(3)上的李群与李代数关系，但是，当我们在 SO(3) 中完成两个矩阵乘法时，李代数中 so(3)上发生了什么改变呢？反过来说，当 so(3) 上做两个李代数的加法时，SO(3) 上是否对应着两个矩阵的乘积？

他们并没有满足如下的简单的相加相乘关系

两个李代数指数映射乘积的完整形式，由BCH公式给出：

其中 [] 为李括号

BCH 公式告诉我们，当处理两个矩阵指数之积时，它们会产生一些由李括号组成的余项

当 φ 1 或φ 2 为小量时，小量二次以上的项都可以被忽略掉。此时，BCH 拥有线性近似表达:

以第一个近似为例：该式告诉我们，当对一个旋转矩阵 R 2 (李代数为)左乘一个微小旋转矩阵 R 1 (李代数为  )时，可以近似地看作，在原有的李代数上，加上了一项 。

同理，第二个近似描述了右乘一个微小位移的情况。

J的解释在下面：

这样，我们就可以谈论李群乘法与李代数加法的关系了。

综上结论为：

同理SE(3)也有响应的结论：

求导

使用李代数解决求导问题的思路分为两种：

        1. 用李代数表示姿态,然后对根据李代数加法来对李代数求导。
        2. 对李群左乘或右乘微小扰动,然后对该扰动求导,称为左扰动和右扰动模型。

1李代数求导

2扰动模型求导

为什么这里是Rp而不是？

参考：

视觉SLAM十四讲_4李群与李代数_哔哩哔哩_bilibili