25、自动机的局部可测试性与相关算法研究

自动机的局部可测试性与相关算法研究

在自动机理论中，局部可测试性是一个重要的概念，它与语言、有限自动机和半群密切相关。本文将深入探讨右[左]局部可测试性的相关理论和算法。

1. 基本概念

• 右[左]局部可测试语言 ：对于某个非负整数 $k$，如果字母表 $\Sigma$ 中的两个单词 $u$ 和 $v$ 满足以下条件，则它们在半群中相等：
  1. 长度为 $k - 1$ 的前缀和后缀相同；
  2. 长度为 $k$ 的子段集合相同；
  3. 这些子段在前缀[后缀]中首次出现的顺序相同。
• 相关符号定义 ：
  • $\Sigma$ 表示字母表，$\Sigma^+$ 表示 $\Sigma$ 上的自由半群。
  • 对于 $w \in \Sigma^+$，$|w|$ 表示 $w$ 的长度。
  • $i_k(w)$ 和 $t_k(w)$ 分别表示 $w$ 的长度为 $k$ 的前缀和后缀，如果 $|w| < k$，则分别为 $w$ 本身。
  • $F_k(w)$ 表示 $w$ 中长度为 $k$ 的子段集合。

2. 局部可测试性的研究背景

局部可测试性的概念最早由 McNaughton 和 Papert 以及 Brzozowski 和 Simon 引入。此后，人们对自动机的转移图和转移半群的局部可测试性的充要条件进行了研究，并提出了多项