23、多目标优化：原理、算法与应用

多目标优化：原理、算法与应用

1. 多目标优化的正式定义

多目标优化问题涉及有限数量的目标函数。在一个具有 n 个同等重要目标的优化问题中，所有目标都需要被最小化（或最大化）以满足某个性能标准。数学上，该问题可以表示为一个目标向量 $f_i(x)$，这些目标必须以某种方式进行权衡：
[F(x) = \min \left[ f_1(x), f_2(x), f_3(x), \cdots, f_m(x) \right], x \in X]
其中，$X$ 是一组 n 个决策向量（决策空间），表示为满足约束条件并优化向量函数而选择的值的参数：
[X = [x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n]^T]
并且有：
[x_{i}^{low} \leq x_i \leq x_{i}^{high}, i = 1, 2, 3, \cdots, n]
这些目标的相对重要性只有在明确理解它们之间的权衡关系后才能确定。由于 $F(x)$ 是一个向量，相互竞争的目标函数会使其无法得到唯一解。可以将决策空间 $X$ 中的每个解 $x$ 与目标空间 $Y$ 中的一个点关联起来，即：
[f(x) = [y_1, y_2, y_3, \cdots, y_m]^T \in Y]
在多目标优化中，集合 $X$ 和 $Y$ 分别被称为决策变量空间和目标函数空间。搜索空间的每次迭代都会产生一组目标向量，这些向量定义了目标空间，其中多个最优目标向量可能代表了不同目标之间的不同权衡。

2. 帕累托最优

帕累托最优是基于多目标优化的一个概念，它通过多个目标组合之间的权衡来促进多个目标向量的优化。权衡的制定是为了以牺牲一个或多个其他目