背包模板

01背包+完全背包+多重背包

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=10005;
int dp[maxn],t,n,c;

void zeropack(int cost,int val) {
	for(int j=c;j>=cost;j--) {
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-cost]+val);
	}
}

void completepack(int cost,int val) {
	for(int j=cost;j<=c;j++)
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-cost]+val);
}

void multipack(int cost,int val,int num) {
	if(num*cost>=c) {
		completepack(cost,val);
		return ;
	}
	int k=1;
	while(k<num) {
		zeropack(k*cost,k*val);
		num-=k;
		k*=2;
	}
	zeropack(num*cost,num*val);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);

    return 0;
}

<think>好的,我现在需要回答用户关于完全背包问题的算法模板、动态规划以及示例代码的问题。首先,我得回忆一下完全背包问题的定义。完全背包和0-1背包的区别在于每种物品可以无限次使用,而0-1背包每个物品只能选一次。动态规划是解决这类问题的常用方法,所以需要先确定状态定义和状态转移方程。 根据引用[2]提到的,完全背包和多重背包的区别,完全背包的物品是无限个,所以状态转移时需要考虑多次选取同一物品的情况。在动态规划中,完全背包的状态转移方程可能与0-1背包不同,尤其是遍历顺序的问题。引用[4]提到,完全背包的循环顺序可能需要将物品放在外层循环,而背包容量在内层循环,并且背包容量需要正序遍历,因为这样可以重复使用物品。 接下来,我需要确定状态的定义。通常,完全背包的状态dp[j]表示容量为j的背包能装下的最大价值。初始化时,dp数组通常初始化为0,因为未装入任何物品时价值为0。 状态转移方程应该是dp[j] = max(dp[j], dp[j - c] + w),其中c是物品的体积,w是价值。因为每个物品可以选多次,所以在遍历容量的时候需要从小到大,这样可以保证每个物品被多次选取。 然后,示例代码的结构应该包括初始化dp数组,遍历每个物品,然后遍历背包容量,并在内层循环中更新dp[j]。根据引用[3]的分组背包代码结构,可能需要调整循环的顺序。但完全背包不需要分组,所以只需要两重循环:外层是物品,内层是容量,且容量正序循环。 需要确认是否正确引用了用户提供的参考资料。例如,引用[4]提到循环顺序的不同,这可能影响状态转移的正确性。因此,在代码中,应该将背包容量作为内层循环,并且是正序的,这符合完全背包的特性。 最后,生成相关问题。根据用户之前的示例,可能需要问及完全背包的应用、优化方法、与0-1背包的区别,以及状态转移的数学证明等。需要确保问题相关且有价值,帮助用户进一步理解。 总结步骤: 1. 定义问题:完全背包的动态规划解法。 2. 状态定义和转移方程。 3. 循环顺序的确定。 4. 示例代码的编写,确保符合模板。 5. 引用相关参考资料中的正确部分。 6. 生成相关问题。 现在需要检查是否存在错误。例如,确保完全背包的循环顺序是否正确,状态转移方程是否正确,以及示例代码是否能够正确运行。同时,确保回答中正确引用了用户提供的引用内容,尤其是关于循环顺序的部分。</think>### 完全背包问题算法详解 #### 一、问题定义 在完全背包问题中,给定$n$种物品和一个容量为$C$的背包,第$i$种物品的体积为$c_i$,价值为$w_i$,且每种物品可无限次使用。目标是选择物品装入背包,使得总价值最大[^2]。 #### 二、动态规划解法 1. **状态定义** 定义$dp[j]$表示容量为$j$的背包能获得的最大价值。 2. **状态转移方程** $$dp[j] = \max(dp[j], \ dp[j - c_i] + w_i)$$ 该方程表示:对于第$i$种物品,若背包容量允许,可以选择装入该物品多次。 3. **循环顺序关键点** - **正序循环容量**:与0/1背包的逆序循环不同,完全背包需要正序遍历容量$j$(从$c_i$到$C$),以确保同一物品可被多次选取[^4]。 - **先遍历物品,再遍历容量**:外层循环遍历物品,内层循环遍历背包容量[^3]。 #### 三、算法模板代码(Python) ```python def complete_knapsack(n, C, c, w): dp = [0] * (C + 1) for i in range(n): # 遍历每种物品 for j in range(c[i], C + 1): # 正序循环背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i]) return dp[C] ``` #### 四、示例 **输入**: $n=3$, $C=5$ 物品体积$c=[1,2,3]$,价值$w=[2,3,4]$ **执行过程**: - 当处理第1个物品(体积1,价值2)时,所有$j≥1$的容量都可以通过多次选择该物品获得更高价值。 - 最终$dp[5]=10$(装入5个第1个物品,总价值$5×2=10$)。 #### 五、数学证明 完全背包的优化问题可表示为: $$ \max \sum_{i=1}^{n} w_i x_i \\ \text{s.t.} \sum_{i=1}^{n} c_i x_i \leq C, \quad x_i \geq 0 \ \text{且为整数} $$ 动态规划通过状态转移方程逐步逼近最优解[^1]。 --- ###
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