从机器学习的角度实现 excel 中趋势线：揭秘梯度下降过程

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已于 2025-09-06 20:57:14 修改 · 989 阅读

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#线性回归 #笔记 #机器学习

于 2025-09-06 20:43:28 首次发布

1. 引言：Excel 的“一键魔法”背后藏着什么智慧？

在 Excel 中，我们只需右键 → 添加趋势线，一条完美的直线就出现了。它快得像魔法，但魔法背后，是数学的严谨。

今天，我们不关心 Excel 内部用了什么算法（可能是解析法），而是要问：

如果机器一开始‘什么都不知道’，它该怎么一步步‘学会’画出这条线？

2. 我们的任务：预测一个简单的线性关系

假设我们有一组数据，它们大致遵循 y = 2x + 1 的规律，但有一些随机噪声（模拟真实世界的测量误差）。

我们的目标：仅凭这10个数据点，让机器“学会”这个规律，找到最佳的 a（斜率）和 b（截距）。

3. 准备数据：10 个“玩具”样本

我们用 Python 生成这10个数据点：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置随机种子，保证结果可复现
np.random.seed(42)

# 生成 10 个 x 值，从 1 到 10
x = np.arange(1, 11)  # [1, 2, 3, ..., 10]

# 生成 y 值：y = 2x + 1 + 噪声
true_a, true_b = 2, 1
noise = np.random.normal(0, 0.5, size=x.shape)  # 添加标准差为 0.5 的高斯噪声
y = true_a * x + true_b + noise

# 查看数据
print("x:", x)
print("y:", np.round(y, 2))  # 保留两位小数

输出：

x: [ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]
y: [ 3.25  4.93  7.32  9.76 10.88 12.88 15.79 17.38 18.77 21.27]

关键点：真实规律是 y = 2x + 1，但数据有噪声，所以 y 值不完全精确。

4. 可视化：我们的目标是什么？

让我们画出这些数据点，并标出真实的线（y=2x+1）：

plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(x, y, color='blue', label='真实数据点', s=50)
# 画出真实规律的线
x_line = np.linspace(0, 11, 100)
y_line = true_a * x_line + true_b
plt.plot(x_line, y_line, 'g--', label=f'真实规律 y={true_a}x+{true_b}', linewidth=2)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('我们的“学习”任务：根据10个数据点，找到最佳拟合线')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()