数据结构中图的基本概念介绍

编程世界里既 “万能” 又有点 “绕” 的角色 ——图（Graph）。

你可能没意识到，生活中到处都是它的影子：打开微信看的好友列表、导航软件规划的出行路线、甚至游戏里角色的移动地图，背后都藏着 “图” 的逻辑。别担心，哪怕你刚接触编程，这篇文章也会用最通俗的例子，带你一步步看懂 “图” 的本质。

为什么 “图” 如此重要？先看 3 个生活场景

先别急着记定义，我们先想几个日常问题：

• 微信里，怎么判断 “我” 和 “陌生好友” 之间隔了几个人？
• 从家到公司，导航怎么选 “最快” 或 “最短” 的路线？
• 网页里点一个链接跳转到另一个，这些链接是怎么串联起来的？

这些问题的核心，其实都是 “事物之间的关系”：人与人的关系、地点与地点的关系、网页与网页的关系。而 “图”，正是专门用来描述这种 “复杂关系” 的数据结构 —— 它能把零散的 “点”（事物）用 “线”（关系）串起来，让我们清晰地看到背后的连接逻辑。

一、图的基本构成：就 2 个核心元素

图的本质特别简单，只需要两个东西就能构成，就像 “乐高积木” 的基础块：

1. 顶点（Vertex / Node）：“事物” 本身

• 定义：代表一个独立的 “实体” 或 “对象”，是图的 “基本单位”。
• 例子：微信里的一个人、地图上的一个城市、网页里的一个页面、电路板上的一个元件。
• 图示：在画图时，通常用「圆圈」或「圆点」表示（比如用○代表 “小明”，○代表 “小红”）。

2. 边（Edge）：“事物之间的关系”

• 定义：连接两个顶点的 “线”，代表顶点之间的关联。
• 例子：小明和小红是好友（边连接两人）、北京到上海有高铁（边连接两座城市）、网页 A 链接到网页 B（边连接两个网页）。
• 图示：用「直线」或「箭头」表示（具体用哪种，后面会讲）。

一句话总结：图 = 一堆顶点（○） + 一堆连接顶点的边（— 或→）。

生活小案例：画一张 “朋友圈图”

假设我们有 3 个人：小明、小红、小刚。

• 顶点：○小明、○小红、○小刚
• 边：如果小明和小红是好友，就用直线连起来（小明 — 小红）；如果小红和小刚是好友，再连一条（小红 — 小刚）。
  这样一来，一张简单的 “朋友关系图” 就画好了 —— 你能一眼看出谁和谁有关系，关系是怎样的。

二、图的 “性格”：有向图 vs 无向图

边不仅能 “连接”，还能体现 “关系的方向”—— 这就像 “朋友” 和 “粉丝” 的区别：朋友是双向的，粉丝是单向的。根据边的方向性，图能分成两大类：

1. 无向图（Undirected Graph）：“双向关系”

• 核心特点：边没有方向，关系是 “对称的”“双向的”。
• 例子：
  • 朋友关系：小明是小红的朋友，小红肯定也是小明的朋友（总不能 “我把你当朋友，你没把我当朋友” 吧？）。
  • 城市间的普通公路：从北京能开车到天津，从天津也能开回北京。
• 图示：边用「直线」表示（比如 小明 — 小红）。

2. 有向图（Directed Graph / Digraph）：“单向关系”

• 核心特点：边有方向，关系是 “不对称的”“单向的”。
• 例子：
  • 关注关系：你在抖音关注了某个博主，但博主不一定关注你（单向的 “粉丝 - 博主” 关系）。
  • 单行道：从学校门口的路口 A 能到路口 B，但路口 B 不能直接回路口 A。
  • 网页链接：网页 A 有一个链接指向网页 B，但网页 B 可能根本没提网页 A。
• 图示：边用「带箭头的直线」表示（比如 你→博主，A→B）。

关键区别记牢：无向图的边是 “友谊”（双向），有向图的边是 “关注” 或 “单行道”（单向）。

三、边的 “重量”：加权图 vs 无权图

有时候，光知道 “两个顶点有关系” 还不够，我们还想知道 “关系有多强”“连接的成本有多高”—— 这就需要给边加一个 “权重”。

1. 加权图（Weighted Graph）：边有 “数值属性”

• 定义：给每条边赋予一个具体的数值（比如距离、时间、成本），这个数值就叫 “权重（Weight）”。
• 权重的意义：根据场景不同，权重可以代表不同含义：
  • 导航场景：边（道路）的权重 = 距离（比如北京到天津的边，权重 = 137 公里）或时间（权重 = 2 小时）。
  • 通信场景：边（网线）的权重 = 带宽（比如 100Mbps）或延迟（比如 20ms）。
  • 社交场景：边（好友关系）的权重 = 亲密度（比如小明和小红经常聊天，权重 = 90；小明和小刚很少联系，权重 = 30）。
• 图示：在边的旁边标注数值（比如 北京 —137km— 天津，你→5（亲密度）→小红）。

2. 无权图（Unweighted Graph）：边没有 “数值属性”

• 定义：所有边的权重都默认是 1（或不明确标注权重），只关心 “有没有连接”，不关心 “连接的代价”。
• 例子：微信好友图（只需要知道 “是不是好友”，不需要算 “亲密度”）、网页链接图（只需要知道 “有没有链接”，不需要管 “链接的点击量”）。

为什么加权图很重要？ 因为它能更贴近现实需求。比如导航软件找 “最短路径”，本质就是在加权图里找 “权重之和最小的路径”（比如总距离最短，或总时间最少）。

四、顶点的 “活跃度”：度、入度、出度

怎么判断一个顶点在图里 “是否重要”？比如微信里谁的好友最多？抖音里谁的粉丝最多？这就需要用 “度” 来衡量。

注意：“度” 的定义在无向图和有向图里不一样，别搞混！

1. 无向图：用 “度（Degree）” 衡量

• 定义：一个顶点连接的边的数量，就是这个顶点的 “度”。
• 例子：在朋友圈图里，小明连接了小红、小刚、小丽 3 个人（3 条边），那小明的 “度” 就是 3（意味着他有 3 个好友）。

2. 有向图：用 “入度” 和 “出度” 衡量

有向图的边有方向，所以要分开看 “进来的边” 和 “出去的边”：

• 入度（In-Degree）：指向该顶点的边的数量（“进来的关系”）。
  例子：抖音博主的 “入度”= 粉丝数（比如有 1000 人关注他，入度 = 1000）。
• 出度（Out-Degree）：从该顶点出发的边的数量（“出去的关系”）。
  例子：你的抖音 “出度”= 你关注的人数（比如你关注了 200 个博主，出度 = 200）。

一句话总结：无向图里，顶点的 “活跃度” 看 “度”；有向图里，看 “入度”（被多少人关注）和 “出度”（关注了多少人）。而且有个小规律：无向图的 “度”，其实等于有向图里 “入度 + 出度”（如果把无向边拆成两个方向的有向边）。

五、图中的 “旅程”：路径与连通性

图最常用的场景之一，就是 “找路线”—— 比如从 A 到 B 怎么走？有没有能走的路？这就需要理解 “路径” 和 “连通性”。

1. 路径（Path）：从 A 到 B 的 “路线”

• 定义：从一个顶点（起点）出发，沿着边（可以是无向边或有向边，有向边要顺着箭头方向）经过一系列顶点，最终到达另一个顶点（终点）的 “序列”。
• 例子：
  • 导航场景：从家（A）→ 地铁站 C → 地铁站 D → 公司（B），这就是一条 “家到公司” 的路径。
  • 社交场景：小明→小红→小刚，这是一条 “小明到小刚” 的路径（意味着小明可以通过小红认识小刚）。
• 注意：路径可以有长度（比如经过 3 条边，路径长度就是 3），也可以有 “总权重”（比如导航路径的总距离 = 各边权重之和）。

2. 连通性：图是不是 “连在一起”

连通性描述的是 “图里的顶点能不能互相到达”，无向图和有向图的定义也不同：

（1）无向图的连通性

• 连通图（Connected Graph）：图里任意两个顶点之间，都存在至少一条路径（比如整个微信好友图，如果任意两个人都能通过 “好友的好友” 联系上，就是连通图）。
• 非连通图（Disconnected Graph）：不是所有顶点都能互相到达，图会分成几个 “独立的小部分”，每个小部分叫 “连通分量”。
  例子：如果微信里有一个 “孤立的小圈子”（比如一群人只和圈子里的人加好友，不和圈子外的人联系），那整个微信好友图就是非连通图，这个小圈子就是一个 “连通分量”。

（2）有向图的连通性（稍复杂）

有向图的边有方向，所以连通性更严格：

• 强连通：任意两个顶点 A 和 B，既能从 A 走到 B，也能从 B 走到 A（比如一个小群里，每个人都关注了其他人，就是强连通）。
• 弱连通：如果忽略边的方向（把有向边当成无向边），图是连通的，但存在 “能从 A 走到 B，却不能从 B 走到 A” 的情况（比如你关注了博主，博主没关注你，忽略方向后你们是 “连的”，但方向上不互通）。

六、图的 “特殊亲戚”：树是一种特殊的图

你可能之前听过 “树（Tree）” 这种数据结构（比如二叉树），其实树不是独立的结构 —— 它是一种 “规则更严格的图”！

树的 3 个核心特征（缺一不可）

1. 是无向图（边没有方向）；
2. 是连通图（任意两个顶点都能互相到达）；
3. 没有环（Cycle）（这是最关键的一点！）。

什么是 “环”？

环就是 “从一个顶点出发，走一圈又回到起点” 的路径，而且路径长度大于 0（不能是 “自己到自己”）。
例子：家→超市→公园→家，这就是一个环；小明 — 小红 — 小刚 — 小明，也是一个环。

树和图的关系

• 所有树都是图（因为树满足图的定义：顶点 + 边）；
• 但不是所有图都是树（图可以有环，也可以不连通，树不行）。

简单说：树是 “最简洁的连通无向图”—— 如果在树上多一条边，就会出现环；如果少一条边，就会变成非连通图。

七、图的应用：原来我们每天都在用

理解了图的基本概念后，你会发现它的应用几乎 “无处不在”，涵盖了我们生活的方方面面：

应用领域	具体场景
社交网络	找 “好友的好友”、推荐可能认识的人、分析 “社交小圈子”（连通分量）
地图与导航	计算最短路径（如 Dijkstra 算法）、规划避堵路线（加权图的权重 = 实时路况时间）
互联网	网页爬虫（跟着网页链接的有向图爬取内容）、数据包路由（找最快的网络路径）
项目管理	关键路径法（CPM）—— 用图表示任务依赖，找 “影响项目进度的核心任务”
推荐系统	用户 - 物品交互图（比如 “用户 A 买了物品 B”），推荐 “相似用户喜欢的物品”
人工智能	知识图谱（用图存储 “概念 - 关系”，比如 “李白 - 朝代 - 唐朝”）、游戏 AI 寻路

总结：图的本质是 “建模关系”

今天我们把图的核心概念过了一遍，其实关键就记住一句话：图是用来描述 “事物之间关系” 的数据结构。

再回顾一下核心知识点：

1. 构成：顶点（事物）+ 边（关系）；
2. 类型：按方向分（有向图 / 无向图），按权重分（加权图 / 无权图）；
3. 衡量：顶点的活跃度（度 / 入度 / 出度）；
4. 核心逻辑：路径（从 A 到 B 的路线）、连通性（能不能到）、环（绕圈）；
5. 特殊情况：树是 “无环的连通无向图”。