一个小时候没有解决的有趣的问题的解

  

记得当年上小学的时候，不知道是谁出的这个问题（好像是少东），就是问上边的这个图能不能用3笔画出来。当时班里好多同学都被这个问题吸引住了（不如说当时大家都逞能T_T）我当时也傻傻的跟着画了好长时间，但是就是不能三笔就画出上边的图，感觉最少四笔才能画出来，然而当时只是小学生，没有办法证明‘三笔画出上边的图形’是不可能的。所以这个事情也只能不了了之，后来变成了大家无聊的时候的谈资。转眼时间，很多年过去了，当年的小学生现在也成长为大学生了，今天老师在讲图论的时候，讲到了欧拉图与半欧拉图，于是瞬间发现这个问题可以证明了。不免心中有一丝小小的得意，现在想来十分悲哀，这样一个简单的问题竟然难道了我这么多年。

   现在我姑且把这个证明一下，就当是对今天新学的知识的温习吧，大牛见了千万不要喷哈。

 命题“上边的图形能否只用三笔就画出来”？

答案：不能；

 证明：  假设能，那么，所谓‘三笔就能画出来’就是说这个图形是由三个欧拉图或半欧拉图（子图）组成的。假设全都是半欧拉图，那么，由半欧拉图的性质：半欧拉图有且只有两个度数为奇数节点，现在有三个半欧拉图，那么就有2×3=6.个度为奇数的节点。很容易想到6是它的‘度数为奇数’的节点的最大个数，因为一旦出现一个或一个以上的欧拉图的话，根绝欧拉图的性质：欧拉图不存在度数为奇数的节点。可以知道，该图的‘度数为奇数’的节点会更加的少。所以，该图最多有6个度数为奇数的节点。这与图中有8个度数为奇数节点矛盾，所以“不可能3笔画出上边的图形”。

     但是要是换成四笔的话，就很容易就画出来的。为什么？很简单 2×4=8吗。正好是四个半欧拉子图。

好了本人水平有限，证明恐有不妥之处，希望大牛发现后给予指正。今天证明了也算是给自己一个交代吧，毕竟困惑了我这么多年了。哈哈