习题3的解答——贪心算法

针对王洪志老师给的习题3中的习题，给出部分习题的简要的解答思路（主要是没时间写仔细的分析），有错误的地方欢迎指出。

1.设有n个物品，第i个物品的价值是vi、重量是wi, 假设物品可以任意分割，给定一个背包，其能容纳最大重量为C，求该背包能容纳物品的最大价值。要求写出伪代码并分析算法正确性和复杂性。

就是普通的分数背包问题，不解释。

2.有6种硬币，面值是1分, 2分, 5分, 1角，5角，1元，给定一个钱数n，求出一个硬币组合，要求面值总和为n且硬币个数最少，假设每种硬币个数无限。要求写出伪代码并分析算法正确性和时间复杂性。

贪心选择：在不超过总币值n的条件下先选择币值最大的硬币，证明可以通过替换法进行证明。

3.存放于磁带上文件需要顺序访问。故假设磁带上依次存储了n个长度分别是L[1],….,L[n]的文件，则访问第k个文件的代价为 。现给定n个文件的长度L[1],….,L[n]，并假设每个文件被访问的概率相等，试设计一个算法输出这n个文件在磁带上的存储顺序使得平均访问代价最小。。答案要求包含以下内容：（1）证明问题具有贪心选择性；（2）证明问题具有优化子结构；（3）给出算法并分析算法的时间复杂度。

贪心选择：将文件长度最小的文件放在最前面

4.

设有n个正整数，将它们连接成一排，组成一个最大的多位整数。

例如：n=3时，3个整数13，312，343，连成的最大整数为34331213。

又如：n=4时，4个整数7，13，4，246，连成的最大整数为7424613。

输入是n个正整数，输出是这n个正整数连成的最大多位整数，要求用贪心法求解该问题。答案要求包含以下内容：（1）证明问题具有贪心选择性；（2）证明问题具有优化子结构；（3）写出算法伪代码并分析算法的时间复杂度。

预处理：对所有的数据进行预处理，遍历所有的数据，找到位数最大的树，并将它的位数记为k；对所有位数小于k的树，通过在末尾加0的方式改造成k位的数据，例如：

原数据：7、13、4、246

预处理之后：700、130、400、246

贪心选择：在预处理的数据中，优先选择最大的数据作为合成整数的高位数据；在合成时使用与预处理数据对应的原数据进行合成

例如在上面所给的数据中，先选择700，再选择400，在选择246，最后选择130；合成后的整数位7424613

5.

设x1, x2, …., xn是实数轴上的n个点，若用单位长度的闭区间覆盖这些点，至少需要多少单位长度闭区间？

预处理：首先很明显应该将n个点进行一次排序。这样就可以从左向右依次计算。

贪心选择：只需要先将排好序的数组最左边元素加上区间长度，把覆盖后的这一段去掉，然后再求出剩余段的最左边元素，重复上述过程即可求得覆盖点集的最少区间数。

8.给定n个自然数d1, d2, …, dn, 设计算法，在多项式时间确定是否存在一个无向图G，使它的结点度数准确地就是d1, d2, …, dn， 要求G中在任意两个结点之间至多有一条边，且不存在一个结点到自身的边。

解决方法：首先对n个数据进行排序，然后选出当前最大的数据d，将其从数据中删除，从剩余的数据中由最小的非零数据开始选取d个数据，若剩余的数据中不足d个非零数据，则返回错误，即不存在图G；若剩余的数据中可以选择出d个非零的数据，则对这d个数据分别减一；循环下去，直到数据中的数据全部为0.

9.考虑一种特殊的0-1背包问题，有n个物品，每个物品价值和重量都相等，背包能容纳的最大重量是C, 回答下列问题:

若物品的重量(价值)分别是1, 2, …,2ⁿ, 证明该0-1背包问题可以用贪心法求解并写出该贪心法。

贪心选择：优先选择小于C的最重的物品放入背包

伪代码：

未完待更