POJ1837 Balance 题解

博客介绍了POJ1837问题,即使用动态规划解决天平平衡的方案计数问题。通过理解力矩平衡原理,博主提出了动态规划的思路,并详细阐述了动态规划的状态转移方程。文章还提到了数组转化和优化技巧,以处理负数位置和避免无效枚举。

题目大意:
一个天平,分别给出c个位置和g个钩码的质量,求解所有钩码全部放上时有多少种使天平平衡的方案,输出方案数。

样例输入:
2 4// 两个位置可放钩码,共四个钩码;
-2 3//两个位置为平衡点左边(感性理解一下)第二格和右边第三格;
3 4 5 8//四个钩码的质量;

样例输出:
2//有两种方案;

样例解释:
把四个钩码按顺序标号为1,2,3,4,则:
方案一:“-2”位置放1,2,3号钩码,“3”位置放4号钩码。
//2*(3+4+5)=3*8;
方案二:“-2”位置放2,4号钩码,“3”位置放1,3号钩码。
//2*(4+8)=3*(3+5);

数据范围:
2<=c<=20,2<=g<=20,天平长度[-15,15],钩码质量[1,25]。

解题思路:
首先,要了解力矩平衡:动力臂乘动力等于阻力臂乘阻力。
然后考虑算法,朴素的枚举会爆炸。
由于每放一个钩码在某一位置上的状态可由某前一状态得到,所以自然想到动态规划。
dp[i][j]代表放上前i个钩码后天平偏移量为j的方案数,则可以得到动归方程dp[i][j+c[k]*g[i]]=dp[i][j+c[k]*g[i]]+dp[i-1][j],i为钩码枚举,j为天平所有位置枚举,k为给出的天平位置枚举。
这里解释一下为什么是对dp[i][j+c[k]*g[i]]的更新而不是对dp[i][j]的更新。j为所有位置的循环,只有将前一位置设为dp[i-1][j]才能将前一位置枚举全,现一位置便可以更新全,所以现一位置就成了dp[i][j+c[k]*g[i]]。
另外,还存在一些小问题,大家可能注意到了天平左边的位置是用负数表示的,而数组却是从0开始。所以我们只能做一下转化,计算出天平的极限偏移量:20*15*25=7500.开一个长度为

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