Manacher算法： O(n)时间求字符串的最长回文子串

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本文介绍了一种统一处理奇数和偶数长度回文串的高效算法。通过在原字符串中插入特定字符来简化回文串的检测过程，并利用p数组记录回文串的长度。文中详细解释了如何计算p数组及其实现代码。

回文串包括奇数长的和偶数长的，一般求的时候都要分情况讨论，这个算法做了个简单的处理把奇偶情况统一了。算法的基本思路是这样的，把原串每个字符中间用一个串中没出现过的字符分隔开来(统一奇偶)，用一个数组p[ i ]记录以 str[ i ] 为中间字符的回文串向右能匹配的长度。先看个例子

原串：w a a b w s w f d

新串： # w # a # a # b # w # s # w # f # d #

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

p数组：1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1

由p数组的性质，新串中以str[i]为中间字符的回文串的长度为p[i]-1，以#为中间字符的就是长度为偶数的，以非#号为中间字符的就是长度为奇数的，那么怎么求p[ ]数组呢。

从左到右计算，也就是计算p[i]时 p[0.....i-1] 都以计算出，并且用一个变量mx记录 max{ k+p[ k ] } (k=0.....i-1),用id记录取最大值时的k，则 p[ i ]= min( p[2*id - i ], mx - i )

当 mx - i > P[j] 的时候，以str[j]为中心的回文子串包含在以str[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以str[i]为中心的回文子串必然包含在以str[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] > mx - i 的时候，以Str[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以Str[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

代码：

//输入，并处理得到字符串s
int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));
for (i = 1; str[i] != '\0'; i++) {
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
    while (str[i + p[i]] == str[i - p[i]]) p[i]++;
    if (i + p[i] > mx) {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}
//找出p[i]中最大的