树上距离查询通常有多种方法，以下结合参考内容介绍一些常见方法及其实现思路：
### 树的直径相关合并方法
在处理树上距离查询时，可以利用树的直径的性质。一个集合直径的两端点，在被划分为两个集合后一定是两个集合直径的四个端点中的两个（前提是边权非负）。基于这个性质，可以使用线段树或ST表来进行信息合并和查询。
- **原理**：假设将集合\(S\)分为两个集合后，另外两个集合的直径的两端点分别为\(a,b\)和\(c,d\)，那么\(S\)集合的直径的两端点一定是\(a,b,c,d\)中的两个。在进行查询时，若得到\([l1,r1]\)内的直径\((a,b)\)，\([l2,r2]\)内的直径\((c,d)\) ，答案就是\(\max(dist(a,c),dist(b,d),dist(b,c),dist(a,d))\) [^1][^2]。
- **实现步骤**：
- 构建线段树或ST表来维护区间内的直径信息。
- 在 `pushup` 操作时，按照上述性质合并信息。
- 进行查询时，根据合并后的信息计算最大距离。
### 代码示例（伪代码）
```python
# 假设已经有计算两点距离的函数 dist
# 定义线段树节点
class SegmentTreeNode:
def __init__(self, left, right, diameter_endpoints):
self.left = left
self.right = right
self.diameter_endpoints = diameter_endpoints
# 构建线段树
def build_segment_tree(arr, left, right):
if left == right:
# 单个节点的直径端点就是自身
return SegmentTreeNode(left, right, (arr[left], arr[left]))
mid = (left + right) // 2
left_child = build_segment_tree(arr, left, mid)
right_child = build_segment_tree(arr, mid + 1, right)
# 合并左右子树的直径信息
a, b = left_child.diameter_endpoints
c, d = right_child.diameter_endpoints
max_dist = max(dist(a, c), dist(b, d), dist(b, c), dist(a, d))
if max_dist == dist(a, c):
diameter = (a, c)
elif max_dist == dist(b, d):
diameter = (b, d)
elif max_dist == dist(b, c):
diameter = (b, c)
else:
diameter = (a, d)
return SegmentTreeNode(left, right, diameter)
# 查询区间内的直径
def query_segment_tree(node, l, r):
if l <= node.left and node.right <= r:
return node.diameter_endpoints
mid = (node.left + node.right) // 2
if r <= mid:
return query_segment_tree(node.left_child, l, r)
elif l > mid:
return query_segment_tree(node.right_child, l, r)
else:
a, b = query_segment_tree(node.left_child, l, mid)
c, d = query_segment_tree(node.right_child, mid + 1, r)
max_dist = max(dist(a, c), dist(b, d), dist(b, c), dist(a, d))
if max_dist == dist(a, c):
return (a, c)
elif max_dist == dist(b, d):
return (b, d)
elif max_dist == dist(b, c):
return (b, c)
else:
return (a, d)
```
### 其他常见方法
- **最近公共祖先（LCA）**：对于树上任意两点\(u\)和\(v\)，它们之间的距离可以通过公式\(dist(u, v) = dist(u, root) + dist(v, root) - 2 * dist(lca(u, v), root)\)计算，其中\(lca(u, v)\)是\(u\)和\(v\)的最近公共祖先。计算LCA可以使用多种算法，如Tarjan算法、倍增算法等。
- **深度优先搜索（DFS）**：可以通过DFS遍历树，记录每个节点到根节点的距离，然后根据上述公式计算任意两点间的距离。
本文介绍了一种树形结构中求两点最短距离的问题，FJ希望奶牛通过马拉松锻炼，但面临奶牛的反对。输入包含树的节点数、边数、边长及方向，以及多个查询点对。输出为各查询点对间的最短路径长度。计算公式为：dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)]。"
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