利用LCA的一些简单查询操作

最新推荐文章于 2024-08-08 14:03:06 发布

Love_xyh

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分类专栏： LCA

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本文介绍了如何利用最近公共祖先（LCA）解决树上的几个常见查询问题，包括计算两点间的距离、判断某点是否在两点路径上以及求路径中最小边的最长路径，并提供了相关代码示例及洛谷推荐题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有很多操查询作，是可以用lca来快速解决的，下面我来记录几个。

模板：求树上两点间的距离

那么，不就是先把所有点到根节点的距离求出后，找一下这两点的lca，得到答案吗？？？

代码：

// 树上两点之间的距离，设两点为a,b,那么它们之间距离就是  dis[a]+dis[b]-2*dis[lca(a,b)] 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,m,u,v,w,a,b,LCA;
int d[N],ff[N],dis[N],p[N][21];
int cnt,head[N];
struct edge{int next,to,w;}e[N<<1];

inline void add(int u,int v,int w)
{
	cnt++;
	e[cnt].next=head[u];
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	head[u]=cnt;
}                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

void dfs(int u,int fa,int w)
{
	ff[u]=w;
	for (register int i=1; (1<<i)<=d[u]; ++i) p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
	for (register int i=head[u]; i; i=e[i].next)
	if (e[i].to!=fa)
	{
		d[e[i].to]=d[u]+1;
		dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w;
		p[e[i].to][0]=u;
		dfs(e[i].to,u,e[i].w);
	}
}

inline int lca(int a,int b)
{
	if (d[a]>d[b]) swap(a,b);
	for (register int i=20; i>=0; --i) if (d[b]-(1<<i)>=d[a]) b=p[b][i];	
	if (a==b) return a;
	for (register int i=20; i>=0; --i)
	if (p[a][i]==p[b][i]) continue;
	else a=p[a][i],b=p[b][i];
	return p[a][0];
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (register int i=1; i<n; ++i) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
	dfs(1,0,0);
	for (register int i=1; i<=m; ++i) 
	{
		scanf("%d%d",&a,&b);
		LCA=lca(a,b);
		printf("%d\n",dis[a]+dis[b]-2*dis[LCA]);	
	}
return 0;
}

模板：判断树上某个点是否在另两点的路径上

设某个点为c，另两个点为a,b,若 dis[a][c]+dis[b][c]==dis[a][b],就说明在路径上了。而dis[a][c]…之类的，当然利用lca求啦。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,u,v,w,a,b,c;
int d[N],dis[N],p[N][21];
int cnt,head[N];
struct edge{int next,to,w;}e[N<<1];

inline void add(int u,int v,int w)
{
	cnt++;
	e[cnt].next=head[u];
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	head[u]=cnt;	
}

void dfs(int u,int fa)
{
	for (register int i=1; (1<<i)<=d[u]; ++i) p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
	for (register int i=head[u]; i; i=e[i].next)
	if (e[i].to!=fa)
	{
		dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w;
		d[e[i].to]=d[u]+1;
		p[e[i].to][0]=u;
		dfs(e[i].to,u);
	}
}

inline int lca(int a,int b)
{
	if (d[a]>d[b]) swap(a,b);
	for (register int i=20; i>=0; --i) if (d[b]-(1<<i)>=d[a]) b=p[b][i];
	if (a==b) return a;
	for (register int i=20; i>=0; --i)
	if (p[a][i]==p[b][i]) continue;
	else a=p[a][i],b=p[b][i];
	return p[a][0];
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (register int i=1; i<n; ++i) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
	dfs(1,0);
	for (register int i=1; i<=m; ++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		if (dis[a]+dis[b]-2*dis[lca(a,b)]==dis[a]+dis[c]-2*dis[lca(a,c)]+dis[b]+dis[c]-2*dis[lca(b,c)]) puts("YES"); 
		else puts("NO");
//		printf("%d %d %d\n",dis[a]+dis[b]-2*dis[lca(a,b)],dis[a]+dis[c]-2*dis[lca(a,c)],dis[b]+dis[c]-2*dis[lca(b,c)]);
	}
return 0;
}

推荐题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3398

模板：求一条路径中的最短的一条路的长度

求出一条连接两点的路径，使得这条路径中最短的那条路最长。

代码：

// 这和用lca求两点间距离，有异曲同工之妙 ，都是要找到他们的公共祖先才能继续做！！！ 
// 主要思路是：求出a到lca的最短距离，求出b到lca的最短距离，然后取一个min即可。
//  因为，lca是一个中转点！！！ 
// 要记住公式： w[j][i]=min(w[j][i-1],w[p[j][i-1]][i-1]);
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=5e4+5;
int n,m,a,b,INF,x,y,z;
int f[N],d[N],p[N][21],w[N][21];
bool vis[N];
int cnt,head[N];
struct edge{int next,to,w;}e[N<<1];

inline void add(int u,int v,int w)
{
	cnt++;
	e[cnt].next=head[u];
	e[cnt].to=v;
	e[cnt].w=w;
	head[u]=cnt;
}

void dfs(int u)
{
	vis[u]=true;
	for (register int i=1; (1<<i)<=d[u]; ++i) p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1];
	for (register int i=head[u]; i; i=e[i].next)
	if (!vis[e[i].to])
	{
		d[e[i].to]=d[u]+1;
		p[e[i].to][0]=u;
		w[e[i].to][0]=e[i].w;
		dfs(e[i].to);
	}
}

inline int lca(int a,int b)
{
	int ans=INF;
	if (d[a]>d[b]) swap(a,b);
	for (register int i=20; i>=0; --i) if (d[b]-(1<<i)>=d[a]) ans=min(ans,w[b][i]),b=p[b][i];
	if (a==b) return ans;
	for (register int i=20; i>=0; --i)
	{
		if (p[a][i]==p[b][i]) continue;
		//如果这个当前的祖先相同，暂时不能说明这就是最终得祖先，所以不能更新ans 
		ans=min(ans,min(w[a][i],w[b][i]));	
		a=p[a][i],b=p[b][i];
	}
	ans=min(ans,min(p[a][0],p[b][0]));
	return ans;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (register int i=1; i<n; ++i) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(x,y,z);	
	
	//预处理lca数组 
	memset(w,127/3,sizeof(w));
	INF=w[0][0];
	dfs(1);
	for (register int i=1; i<=20; ++i)  //对于每个节点，先要求出它们的 2^1的祖先，然后才能再求2^2的祖先
	for (register int j=1; j<=n; ++j)   //所以 i循环是个大循环，j循环是个小循环 
	w[j][i]=min(w[j][i-1],w[p[j][i-1]][i-1]);
	
	//lca求答案 
	for (register int i=1; i<=m; ++i)
	{
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%d\n",lca(a,b));
	}
return 0;
}