利用位运算实现加减乘除_位运算加减-优快云博客

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文章介绍了位运算的基本概念，包括与(&),或(|),异或(^),取反(~),左移(<<)和右移(>>)等运算，并详细阐述了如何使用位运算实现加法、减法、乘法和除法的算法。此外，还讨论了如何利用位运算来对比两个字符串是否相同，特别是在字符串只包含特定字符类型（如数字或字母）的情况下。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

文章目录

位运算基本概念
运算
总结
- 加减乘除位运算思路小结
- 对比字符串是否相同

位运算基本概念

runoob 位运算

位运算	运算规则	说明
& 与运算	0 & x = 0	1. 清零：数n与0按位与 2. 取指定位：这些位为1，其余为全为0 3. 判断奇偶：a & 1 === 0
I 或运算	1 I x = 1	设置指定位为1：这些位为1，其余位全为0
^ 异或运算	相同为0，不同为1 x ^ x = 0 x ^ 0 = 0	1. 无进位加法 2. 翻转指定位：这些位为1，其他位全为0 3. a ^ b可判断a，b是否同号
~ 取反运算		补码的计算：取反+1
<< 左移运算	低位补0，高位溢出	相当于 *2
>> 右移运算	低位溢出，无符号数高位补0，有符号数在逻辑右移中高位补0、在算数右移中高位补符号位	相当于 /2

运算

加法

位运算实现加减乘除运算

算法描述：
1. 求无进位加法结果 sum【按位异或^】
2. 求进位 carry【按位与& 并左移一位<<】
3. 如果carry为0，sum为最终结果；否则重复步骤1～3，求和sum + carry

function add (a, b) {
    let sum = a ^ b
    let carry = (a & b) << 1
    while (carry) {
        a = sum
        b = carry
        sum = a ^ b
        carry = (a & b) << 1
    }
    return sum
}

减法

算法描述：
- a - b = a + (-b)
- 负数在计算机中以补码的形式保存，对b按位取反后+1

function substract (a, b) {
    b = add(~b, 1) // -b
    return add(a, b)
}

乘法

算法描述：
- a * b，a 加b次的自己即可
- 在二进制中，由于只有0和1，这种运算可以转化为：如果b[i]=0，跳过本次加法操作(加 0 )；如果为1，加数为a左移一位

function mutiply (a, b) {
    // 计算最终符号，并取绝对值
    let x = a < 0 ? add(~a, 1) : a
    let y = b < 0 ? add(~b, 1) : b

    let product = 0
    while (y) {
    
    	// product = add(product, x)
        // y = substract(y, 1)
        // 等效于
        
        if (y & 0x1) { // 最后一位为1
            product += x
        }
        x = x << 1

        // 在10进制中，下一个循环前，b需要-1
        // 在2进制中，表示该位已经处理完成，右移将最后一位更新为下一位
        y = y >> 1
    }

    // 还原符号位
    if ((a ^ b) < 0) {
        product = add(~product, 1)
    }

    return product

}

除法

算法描述：
- 思路和乘法一致，a减b，直到a < b

function divide(a, b) {
    let x = a > 0 ? a : add(~a, 1)
    let y = b > 0 ? b : add(~b, 1)

    let quotient = 0 // 商
    let remainder = 0 // 余数

    while (x >= y) {
        quotient = add(quotient, 1)
        x = substract(x, y)
    }

    // 确定商符号
    if ((a ^ b) < 0) {
        quotient = add(~quotient, 1)
    }

    // 计算余数, 余数符号只和除数符号相关
    remainder = b < 0 ? y : add(~y, 1)

    return quotient
}

算法优化：
- 上述算法，如果被除数很大，除数很小，每次减一个除数，会导致循环很多次。
- 可以加大减法步长，即每次减一个小于被除数的最大倍数除数，在二进制中，可以通过左移运算扩大倍数。

function divide_v2(a, b) {
    let x = a > 0 ? a : add(~a, 1)
    let y = b > 0 ? b : add(~b, 1)

    let quotient = 0 // 商
    let remainder = 0 // 余数

    for(let i = 31; i >= 0; i--) {
        /* 这里要比较 x 与 y * (2^i)的关系
         * 但是y * (2^i)可能会溢出，所以比较 x / (2^i) 与 y的关系
         * 效果是一致的
         */
        if ((x >> i) >= y) {
            quotient = add(quotient, 1 << i) // 步长为 1 << i
            x = substract(x, y << i)
        }
    }

    // 确定商符号
    if ((a ^ b) < 0) {
        quotient = add(~quotient, 1)
    }
    // 计算余数
    remainder = b < 0 ? add(~y, 1) : y

    return quotient
}

ECMAScript 位运算符

在使用js语言时，要注意：

js中使用64位保存数据，但是进行位运算时，会强制转化为32位。

在上述代码中，如果a或b取值为 1 >> 31，求其补码后会得到 a = add(~a, 1)的异常结果，所以要对这种情况进行特殊讨论：

如果b = 1 >> 31
- a = 1 >> 31，则结果为1
- 其余情况均为0

if (b === MIN_NUM) {
    if (a === b) {
        return {
            isSpecialCase: true,
            result: 1
        }
    } else {
        return {
            isSpecialCase: true,
            result: 0
        }
    }
}

如果a = 1 >> 31且b !== 1 >> 31，先进行一次减法/加法运算，减小a的绝对值

if (a === MIN_NUM) {
    a = b < 0 ? substract(a, b) : add(a, b)
    quotient = add(quotient, 1)
}

function specialCases (a, b, MIN_NUM, MAX_NUM) {
    switch(a) {
        case 0:
            return {
                isSpecialCase: true,
                result: 0
            }
        case 1:
            if (b === 1 || b === -1) {
                return {
                    isSpecialCase: true,
                    result: b
                }
            } else {
                return {
                    isSpecialCase: true,
                    result: 0
                }
            }
        case MIN_NUM:
            if (b === 1) {
                return {
                    isSpecialCase: true,
                    result: a
                }
            } else if (b === -1) {
                return {
                    isSpecialCase: true,
                    result: MAX_NUM
                }
            }
            break
    }
    if (b === MIN_NUM) {
        if (a === b) {
            return {
                isSpecialCase: true,
                result: 1
            }
        } else {
            return {
                isSpecialCase: true,
                result: 0
            }
        }    
    } else if (b === 1) {
        return {
            isSpecialCase: true,
            result: a
        } 
    }
    return {
        isSpecialCase: false,
        result: undefined
    }
}
function divide(a, b) {
    const MIN_NUM = 1 << 31
    const MAX_NUM = add(~add(MIN_NUM, 1), 1)
    const {isSpecialCase, result} = specialCases(a, b, MIN_NUM, MAX_NUM)
    if (isSpecialCase) {
        return result
    }

    let quotient = 0 // 商

    if (a === MIN_NUM) {
        a = b < 0 ? substract(a, b) : add(a, b)
        quotient = add(quotient, 1)
    }

    let x = a > 0 ? a : add(~a, 1)
    let y = b > 0 ? b : add(~b, 1)

    for(let i = 31; i >= 0; i--) {
        if ((x >> i) >= y) {
            quotient = add(quotient, 1 << i) // 步长为 1 << i
            x = substract(x, y << i)
        }
    }

    // 确定商符号
    if ((a ^ b) < 0) {
        quotient = add(~quotient, 1)
    }

    return quotient
}

总结

加减乘除位运算思路小结

加法：异或运算计算无进位的和(新加数1)，按位与并左移一位计算进位(新加数2)，直到进位为0。
减法：对减数求补码(取反+1)，转化为加法。
乘法：
- 统一两个乘数为正数
- 乘数最后一位为1，结果中加上左移后的被乘数
- 最后计算积的符号
除法：注意js
- 统一两个参数为正数
- 每次减操作，利用移位运算(i = 31)找到小于被除数的除数最大倍数(if((x >> i) >= y))
- 最后计算商的符号，余数符号只和除数符号有关