【代码随想录day24】整数拆分

题目

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

代码

说实话这题的递推公式真的挺难想的。

因为题目要求必须拆分，所以我们不用考虑不拆分的情况。如果拆分的话，我们试想一下每次拆分的情况是怎样的？

1. 只拆成两个数，算一下乘积
2. 先拆一个出来，剩下的还能拆，但是拆多少个我不知道

总共就只能拆成这两种情况，那么接下来对于上面情况1要考虑的是我们拆成哪两个数？我也不知道，就用j遍历所有情况看看那个乘积最大就是哪个呗。对于情况2，拆一个同样是用j遍历所有情况，剩下的咋拆？用dp数组拆，可以在之前拆的时候用dp数组记录乘积最大值，这样剩下咋拆就可以通过查dp数组找到最大乘积了。

因此定义dp[i]为数i拆分成至少两个数所能得到的最大乘积。初始化dp[2]=1，然后两层for循环，因为我们要求的是dp[n]，所以外层遍历i应该从3~n+1；内层遍历应该是j从1~n，代表把i拆分成一个j和i-j（第一种情况）或者j和dp[i-j]（第二种情况）。

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp=[0 for _ in range(n+1)]
        dp[2]=1

        for i in range(3,n+1):
            for j in range(1,n):
                dp[i] = max(dp[i],j*(i-j),j*dp[i-j])
        return dp[n]

这里j的终止条件可以优化成i//2+1，不过我一直没想明白为什么可以这样，是怎么知道当j超过i//2+1时dp[i]一定没有更大的值呢？？有知道的大佬欢迎评论，让我学习一下，感谢！