32.最长的斐波那契子序列的长度（medium）-优快云博客

1.题目链接：

873. 最长的斐波那契子序列的长度 - 力扣（LeetCode）873. 最长的斐波那契子序列的长度 - 如果序列 x1, x2, ..., x2 满足下列条件，就说它是斐波那契式的： * n >= 3 * 对于所有 i + 2 <= n，都有 xi + xi+1 == xi+2给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr ，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果不存在，返回 0 。子序列是通过从另一个序列 arr 中删除任意数量的元素（包括删除 0 个元素）得到的，同时不改变剩余元素顺序。例如，[3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的子序列。示例 1：输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]输出: 5解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。示例 2：输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]输出: 3解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。提示： * 3 <= arr.length <= 1000 * 1 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 109https://leetcode.cn/problems/length-of-longest-fibonacci-subsequence/description/

2.题目描述：

如果序列 X_1, X_2, ..., X_n 满足下列条件，就说它是斐波那契式的：
             ◦    n >= 3
             ◦    对于所有 i + 2 <= n，都有 X_i + X_{i+1} = X_{i+2}
    给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr ，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果        一个不存在，返回 0 。
    （回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不    删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

示例 1：
输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。
示例 2：
输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。

     提示：
             3 <= arr.length <= 1000
             1 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9
3. 解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表示：
        对于线性 dp ，我们可以用「经验 + 题目要求」来定义状态表示：


i.	以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的「所有子序列」中，最长的斐波那契子数列的长度。但是这里有一个非常致命的问题，那就是我们无法确定 i 结尾的斐波那契序列的样子。这样就会导致我们无法推导状态转移方程，因此我们定义的状态表示需要能够确定一个斐波那契序列。根据斐波那契数列的特性，我们仅需知道序列里面的最后两个元素，就可以确定这个序列的样子。

因此，我们修改我们的状态表示为：
dp[i][j] 表示：以 i 位置以及 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，最长的斐波那契子序列的长度。规定一下 i < j 。

2. 状态转移方程：
设 nums[i] = b, nums[j] = c ，那么这个序列的前一个元素就是 a = c - b 。我们根据 a 的情况讨论：

i.	a 存在，下标为 k ，并且 a < b ：此时我们需要以 k 位置以及 i 位置元素为结尾的

最长斐波那契子序列的长度，然后再加上 j 位置的元素即可。于是 dp[i][j] = dp[k][i] + 1 ；

ii.	a 存在，但是 b < a < c ：此时只能两个元素自己玩了，dp[i][j] = 2 ；
iii.	a 不存在：此时依旧只能两个元素自己玩了，dp[i][j] = 2 。

综上，状态转移方程分情况讨论即可。

优化点：我们发现，在状态转移方程中，我们需要确定 a 元素的下标。因此我们可以在 dp 之前，将所有的「元素 + 下标」绑定在一起，放到哈希表中。

3. 初始化：
可以将表里面的值都初始化为 2 。

4. 填表顺序：

a. 先固定最后一个数；
b. 然后枚举倒数第二个数。

5. 返回值：
因为不知道最终结果以谁为结尾，因此返回 dp 表中的最大值 ret 。但是 ret 可能小于 3 ，小于 3 的话说明不存在。
因此需要判断一下。

Java算法代码

class Solution {
    public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
        int  n = arr.length;
        for(int i = 0; i < n; i++) hash.put(arr[i], i);

        int[] [] dp = new int[n][n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                dp[i][j] = 2;
            }
        }
        int ret = 2;
        for(int j = 2; j < n; j++){
            for(int i = 1; i < j; i++){
                int a = arr[j] - arr[i];
                if(a < arr[i] && hash.containsKey(a)){
                    dp[i][j] = dp[hash.get(a)][i] + 1;

                }
                ret = Math.max(ret,dp[i][j]);
            }
        }
        return ret < 3 ? 0 : ret;
    }
}

运行结果：

动态规划：