17.买卖股票的最佳时机Ⅲ（hard）-优快云博客

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1.题目链接：

123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）123. 买卖股票的最佳时机 III - 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。示例 1:输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]输出：6解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。示例 2：输入：prices = [1,2,3,4,5]输出：4解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。示例 3：输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。示例 4：输入：prices = [1]输出：0 提示： * 1 <= prices.length <= 105 * 0 <= prices[i] <= 105https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/description/2.题目描述：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0

提示：
1 <= prices.length <= 10^5
0 <= prices[i] <= 10^5

3. 解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表示：
对于线性 dp ，我们可以用「经验 + 题目要求」来定义状态表示：


i.	以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：由于有「买入」「可交易」两个状态，因此我们可以选择用两个数组。但是这道题里面还有交易次数的限制，因此我们还需要再加上一维，用来表示交易次数。其中：

	f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买入」状态，此时的最大利
▪

润；

	g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最大利
▪

润。

2. 状态转移方程：
对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：


i.	在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买入」状态，第 i 天啥也不干即可。此时最

大利润为：f[i - 1][j] ；
ii. 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最大利润为：g[i - 1][j] - prices[i] 。

综上，我们要的是「最大利润」，因此是两者的最大值：f[i][j] = max(f[i - 1][j],

g[i - 1][j] - prices[i]) 。

对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：


i.	在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不干即可。此时的

最大利润为：g[i - 1][j] ；
ii. 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买入」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j 比交易。此时的最大利润为：f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不一定存在，要先判断一下。

综上，我们要的是最大利润，因此状态转移方程为：

g[i][j] = g[i - 1][j];

if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);

3. 初始化：
由于需要用到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第一行即可。


◦	当处于第 0 天的时候，只能处于「买入过一次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因

此 f[0][0] = - prices[0] 。


◦	为了取 max 的时候，一些不存在的状态「起不到干扰」的作用，我们统统将它们初始化为 -

INF （用 INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的风险，这里 INF 折半取 0x3f3f3f3f ，足够小即可）

4. 填表顺序：

从「上往下填」每一行，每一行「从左往右」，两个表「一起填」。

5. 返回值：

返回处于「卖出状态」的最大值，但是我们也「不知道是交易了几次」，因此返回 g 表最后一行

的最大值。

Java算法代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //1.创建dp表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值
        int INF = 0x3f3f3f3f;

        int n = prices.length;
        int[][] f = new int[n][3];
        int[][] g = new int[n][3];
        for(int j = 0; j < 3; j++) f[0][j] = g[0][j] = -INF;
        f[0][0] = -prices[0];
        g[0][0] = 0;

        for(int i =1; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < 3; j++){
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]);
                g[i][j] = g[i-1][j];
                if(j - 1 >= 0){
                    g[i][j] = Math.max(g[i][j],f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
                }
            }
        }
        int ret = 0;
        for(int j = 0; j < 3; j++) ret = Math.max(ret,g[n-1][j]);
        return ret;
    }
}

执行结果：

动态规划：