隐马尔可夫模型问题三：求最可能的隐藏状态序列

隐马尔可夫模型问题三求解

求最可能的隐藏状态序列，主要是通过动态规划求解概率最大的路径（最优路径），即通过动态规划求解马尔科夫模型的预测问题，最优路径对应一个状态序列。求解这种问题，我们一般使用马尔科夫模型。
已知模型$\lambda =(A,B,\pi )$，并且
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0.5& 0.2& 0.3\\ 0.3& 0.5& 0.2\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}\right]$$

$$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.4& 0.6\\ 0.7& 0.3\end{array}\right]$$

$$\pi =\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.4& 0.4\end{array}\right]$$

观测序列序列是已知的，并且$O=红,白,红$，那么可以求得最优的状态序列，即最优路径$I^{\ast }=(i_1^{\ast },i_2^{\ast },i_3^{\ast })$。
解：如下图所示，如果在所有的隐藏状路径中找到一条最优路径，那么需要首先初始化。在$t=1$时刻，对应的每一个隐藏状态$i=1,2,3$，因此可以求出状态为$i$并且观测状态$o_1$为红色的概率${\delta }_1(i)$，即
$${\delta }_1(i)={\pi }_i{b}_i(o_1)={\pi }_i{b}_i(红),i=1,2,3$$
令${\psi }_1(i)=0,i=1,2,3$，作为概率最大的第一个隐藏状态。

图 最优路径求解

(1) 当$t=2$时，状态$i=1,2,3$，需要求解$t=1$时的并且隐藏状态是$j$，观测状态为红色，并且$t=2$隐藏状态是$i$，观测状态$o_2$为白色的路径最大概率，${\delta }_2(i)$，则

$${\delta }_2(i)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{ji}]b_i(o_2)$$

对每个状态$i=1,2,3$，我们需要记录概率最大的路径对应的前一个隐藏状态$j$:
$${\psi }_2(i)=\arg \underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{ji}]i=1,2,3$$
使用实际数据带入上述公式，得

δ2(1)=max⁡1≤j≤3[δ1(j)aj1]b1(o2)=max⁡j{0.10×0.50.16×0.30.28×0.2}×0.5=0.028\begin{matrix}{} {\delta _{\rm{2}}}({\rm{1}}) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{1}} \le j \le {\rm{3}}} [{\delta _1}(j){a_{j{\rm{1}}}}]{b_{\rm{1}}}({o_2})\\ {\kern 125pt}{\rm{ = }}\mathop {\max }\limits_j {\rm{\{ 0}}{\rm{.10}} \times {\rm{0}}{\rm{.5}}{\rm{0}}{\rm{.16}} \times {\rm{0}}{\rm{.3}}{\rm{0}}{\rm{.28}} \times {\rm{0}}{\rm{.2\} }} \times {\rm{0}}{\rm{.5}}\\ {\kern -34pt}{\rm{ = 0}}{\rm{.028}} \end{matrix}δ2​(1)=1≤j≤3max​[δ1​(j)aj1​]b1​(o2​)=jmax​{0.10×0.50.16×0.30.28×0.2}×0.5=0.028​

$${\psi }_2(1)=3$$

$${\delta }_2(1)=0.0504$$

$${\psi }_2(2)=3$$

$${\delta }_2(3)=0.0042$$

$${\psi }_2(3)=3$$

当$t=3$时，

$${\delta }_3(i)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_2(j)a_{ji}]b_i(o_3)$$

$${\psi }_3(i)=\arg \underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_2(j)a_{ji}]$$

$${\delta }_3(1)=0.00756$$

$${\psi }_3(1)=2$$

$${\delta }_3(2)=0.01008$$

$${\psi }_3(2)=2$$

$${\delta }_3(3)=0.0147$$

$${\psi }_3(3)=3$$

(2) 我们使用$P^{\ast }$表示最终求解得到的最优路径的概率，得
$$P^{\ast }=\underset{1\le j\le 3}{\max }{\delta }_3(i)=0.0147$$
所以，已知最优路径的终点$i_3^{\ast }$：
$$i_3^{\ast }=\arg \underset{i}{\max }[{\delta }_3(i)]=3$$

(3) 通过最优路径的结束点$i_3^{\ast }$进行逆向查找，得到$i_2^{\ast },i_1^{\ast }$：

当$t=2$时，
$$i_2^{\ast }={\psi }_3(i_3^{\ast })={\psi }_3(3)=3$$
当$t=1$时，
$$i_1^{\ast }={\psi }_2(i_2^{\ast })={\psi }_2(3)=3$$
通过最优路径，我们得到的隐藏状态序列为$I^{\ast }=(i_1^{\ast },i_2^{\ast },i_3^{\ast })=(3,3,3)$。