003.LeetCode:70. 爬楼梯

最新推荐文章于 2025-04-23 11:37:17 发布
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本文介绍了一个经典的动态规划问题——爬楼梯。通过使用动态规划的方法，我们提供了一个简洁的C++代码实现，用于计算爬上n阶楼梯的不同方式数量。代码中定义了一个Solution类，其中包含一个climbStairs成员函数，该函数使用了动态规划的思想，利用一个vector存储中间结果，避免了重复计算。

在这里插入图片描述
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解决方案代码如下

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int>dp(n+3,0);
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};
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<think>我们被要求回答LeetCode70题“爬楼梯”的解题思路，重点在动态规划和递归方法。根据引用内容，我们可以总结如下：1.问题描述：爬楼梯，每次可以爬1或2个台阶，到达第n阶有多少种不同的方法。2.动态规划是解决此问题的典型方法，状态转移方程为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]。3.递归方法虽然直观，但存在重复计算，可能导致超时，可以使用记忆化搜索优化（Top-DownDP）。4.动态规划（自底向上）通常使用数组存储中间结果，然后进行空间优化（例如用两个变量代替数组）。我们将按照以下结构组织回答：一、问题描述二、思路分析（递归关系）三、递归方法（及优化）四、动态规划方法（及优化）五、总结同时，根据要求，我们需要在回答末尾生成相关问题。注意：所有数学表达式（包括变量、方程）使用$...$格式，独立公式使用$$...$$格式。回答使用中文。引用标识：在引用的内容末尾添加[^1]、[^2]等，但注意我们引用的内容来自用户提供的引用[1]到[4]。</think>### LeetCode 70：爬楼梯｜动态规划与递归解析 #### 一、问题描述 给定楼梯阶数 $n$，每次可爬 $1$ 或 $2$ 阶，求到达第 $n$ 阶的不同方法总数。 #### 二、核心思路 **状态转移方程**： $$ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] $$ 其中 $dp[i]$ 表示到达第 $i$ 阶的方法数。该方程源于：第 $i$ 阶只能从 $i-1$ 阶（爬 $1$ 阶）或 $i-2$ 阶（爬 $2$ 阶）到达[^2][^4]。 --- #### 三、动态规划解法（推荐） **自底向上迭代**，避免递归重复计算： ```python def climbStairs(n: int) -> int: if n <= 2: return n # 边界处理 dp = [0] * (n+1) dp[1], dp[2] = 1, 2 # 初始状态 for i in range(3, n+1): dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] # 状态转移 return dp[n] ``` **空间优化**（滚动变量）： 仅需存储前两个状态，空间复杂度优化至 $O(1)$： ```python def climbStairs(n: int) -> int: if n <= 2: return n a, b = 1, 2 # a=dp[i-2], b=dp[i-1] for _ in range(3, n+1): a, b = b, a + b # 更新状态 return b ``` --- #### 四、递归解法（需优化） **基础递归**（不推荐）： 直接实现状态方程，但存在指数级重复计算： ```python def climbStairs(n: int) -> int: if n == 1: return 1 if n == 2: return 2 return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2) # 递归分解 ``` **问题**：计算 $dp[5]$ 需重复计算 $dp[3]$ 和 $dp[4]$，时间复杂度 $O(2^n)$，$n=45$ 时超时[^3]。 **优化：记忆化搜索（Top-Down DP）** 添加缓存避免重复计算，时间复杂度降为 $O(n)$： ```python def climbStairs(n: int) -> int: memo = {} # 记忆字典 def dfs(k): if k <= 2: return k if k not in memo: memo[k] = dfs(k-1) + dfs(k-2) # 缓存结果 return memo[k] return dfs(n) ``` --- #### 五、复杂度对比 | 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用性 | |---------------|------------|------------|----------------| | 基础递归 | $O(2^n)$ | $O(n)$ | 仅小 $n$ | | 记忆化搜索 | $O(n)$ | $O(n)$ | 需额外缓存 | | 动态规划 | $O(n)$ | $O(n)$ | 通用 | | **空间优化DP**| $O(n)$ | $O(1)$ | **最优解** | > **总结**：动态规划（尤其空间优化版）是本题最佳解法。其本质是斐波那契数列问题，状态转移方程 $dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$ 是核心[^1][^2]。 ---
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