题解|《算法竞赛进阶指南》a^b--题解

最新推荐文章于 2022-07-31 23:06:08 发布

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#数据结构与算法

本文深入解析快速幂算法，一种高效计算大数幂运算的技巧，尤其适用于求解a的b次方对p取模的问题。通过将指数转换为二进制形式，快速幂能够显著降低时间复杂度至O(log₂N)，并提供完整代码实现，帮助读者理解和掌握这一算法。

题目描述
求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 0 <= a,b,p <= 10^9

输入描述:
三个用空格隔开的整数a,b和p。

输出描述:
一个整数，表示a^b mod p的值。

实例：
输入： 2 3 9
输出： 8

思路：
这道题是要先算出a的b次幂再对其结果进行求模（取余），因为b最大可为1e+9，按普通做法来做时间复杂度就太大了，显然这样过不了题，
能快速算a的b次幂，就能减小时间复杂度，快速幂就是一种不错的方法。

什么是快速幂：
快速幂是一种简化运算底数的n次幂的算法，理论上其时间复杂度为 O(log₂N)，而一般的朴素算法则需要O(N)的时间复杂度。简单来说快速幂其实就是抽取了指数中的2的n次幂，将其转换为时间复杂度为O(1)的二进制移位运算，所以相应地，时间复杂度降低为O(log₂N)。

代码原理：
以a^13为例，
先把指数13化为二进制就是1101，把二进制数字1101直观地表现为十进制则是如下的等式：
13 = 1 * (2^3) + 1 * (2^2) + 0 * (2^ 1) + 1 * (2^0)
这样一来a^13可以如下算出：
a^13 = a ^ (2^3) * a ^ (2^2) * a ^ (2^0)

完整AC代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long ll;//将long long类型取个别名：ll类型，为了方便
 6 
 7 ll ksm(ll a, ll b,ll p) {//ksm：同快速幂
 8 ll ans = 1 % p;
 9 
10 while (b) {
11 if ((b & 1) != 0) {//判断b的二进制第一位是否为1，用（b & 1）这个方法还能判断一个数是奇偶数
12 ans = ans * a % p;
13 }
14 a = a * a % p;
15 b = b >> 1;//去掉二进制的第一位
16 }
17 return ans;
18 }
19 
20 int main()
21 {
22 ll a, b , p;
23 
24 cin >> a >> b >> p;
25 cout << ksm(a , b , p) << endl;
26 
27 return 0;
28 }