14、四元数在3D图形中的应用与操作

四元数在3D图形中的应用与操作

1. 四元数简介

在3D计算机图形领域，描述物体在空间中的旋转有三种常见方法：
- 变换矩阵 ：如之前讨论的旋转矩阵。
- 欧拉角 ：保存物体在三个世界轴上的旋转角度。
- 四元数 ：可以存储物体方向的所有信息，还能减少内存存储需求。

四元数本质上是一种四维数。数学的发展从一维的标量开始，接着出现了二维的复数，人们曾徒劳地尝试“发明”三维数，却意外发现了遵循数学规则的四维数——四元数。

2. 复数基础

复数由一个正常的标量和一个所谓的虚部组成，其表达式为 (k = (a + bi)) ，其中 (a) 和 (b) 是正常的标量值， (i) 是一个特殊的单位，且 (i * i = -1) ，这意味着 (i = \sqrt{-1}) 。有了复数，就可以计算负数的平方根，结果可能是一个复数，若能消除方程中的虚部，也可能得到一个一维的实数结果。

3. 四元数特性

四元数比复数更奇特，复数只有一个虚部，而四元数有三个虚部，通常表示为 (i)、(j) 和 (k) ，且 (j * j = -1) ， (k * k = -1) 。四元数的表达式可以写成 (q = ( a + bi + cj + dk )) ，也可以写成 (q = [w, v]) 的形式，其中 (v = ( x, y, z )) ，从3D图形的角度看，(w) 可看作物体旋转的角度，(v) 代表旋转轴。使用四元数可以避免存储三个世界轴的旋转角度，并且可以不断叠加旋转，相应地改变其旋转向量和角度值