数据流基本问题--独立元素计数（一）_流中独立元素的数目统计-优快云博客

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本文探讨了如何在数据流中计算独立元素的数量。当元素过多导致内存限制时，提出了使用哈希和2-universal hash family来估计独立元素数目。算法通过记录元素哈希值的zero()最大值作为估算依据。通过运行算法多次并取中位数（median trick），可以提高估算精度。文中还引用了马尔科夫不等式和切比雪夫不等式来分析误差概率。

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下面我们讨论如何计算独立元素数目。

一、问题定义

如果一个数据流 $\sigma = \left \{ a_1,a_2\cdots,a_m \right \}$ ，其中m为数据流的大小， $a_i\in\left \{ 1,2\cdots,n \right \}$ 。我们可以定义每个元素

出现的次数为 $\mathbf{f}=\left ( f_1,f_2\cdots,f_n \right )$ ，其中 $f_i$ 为第i个元素出现的次数。假设 $d=\left | \left \{ j:f_j>0 \right \} \right |$ ，容易得知d为在

数据流中出现的不同元素数目，也就是独立元素数目。

对于这个问题，可以在内存中使用高效的搜索结构（比如平衡BST等）保留当前已经出现的元素。但是如果元素数目实在太

多以致搜索结构无法访问内存时，我们可以使用更多的机器或者将数据结构的一部分放入到外存中。

上述做法是计算流中独立元素的精确解。如果我们仅仅需要对独立元素数目进行估计，则方法要简单的多，空间消耗也很少

（一般确定性算法空间复杂度需要 $\Omega(n)$ ）。

二、具体算法

通过将流中元素哈希到一个足够长的位串，就可以实现独立元素数目的估计。这里要求哈希函数属于2-universal hash family。要求位串必须要足够长，以致哈希函数的可能结果数目要远大于流中独立元素个数。如果在流中看到的不同元素越多，我们看到的不同哈希值也就越多。对于一个元素哈希后的结果p，我们定义zero(p)为p的二进制表示尾部中连续0的个数。也就是如下定义：