HDU-6377度度熊看球赛（dp）

最新推荐文章于 2019-08-16 19:06:07 发布

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本文探讨了一个有趣的组合数学问题——世界杯期间情侣们如何随机就座才能最小化影响观看体验的期望喧闹值，并提供了一种基于动态规划的解决方案。

题目

世界杯正如火如荼地开展！度度熊来到了一家酒吧。

有 N 对情侣相约一起看世界杯，荧幕前正好有 2×N 个横排的位置。

所有人都会随机坐在某个位置上。

当然，如果某一对情侣正好挨着坐，他们就会有说不完的话，影响世界杯的观看。

一般地，对于一个就座方案，如果正好有 K 对情侣正好是挨着坐的，就会产生 DK 的喧闹值。

度度熊想知道随机就座方案的期望喧闹值。

为了避免输出实数，设答案为 ans，请输出 ans×(2N)! mod P 的值。其中 P=998244353

思路：dp[i][j]表示已有i对情侣入座，j对情侣坐在一起的方案数。

for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=0;j<=i;j++)
    {
        ///第i对情侣不分开
        dp[i][j]+=dp[i-1][j]*j;///坐在了之前挨着坐的情侣的中间
        dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(2*(i-1)-(j-1)+1);///把之前的（j-1）对情侣看成一团，放在他们的间隙插空坐
          
        ///第i对情侣分开
        dp[i][j]+=dp[i-1][j+2]*((j+2)*(j+1)/2);///两个人分别拆散一对情侣
        dp[i][j]+=dp[i-1][j+1]*(2*(i-1)-(j+1)+1)*(j+1);///其中一个人拆散了一对情侣
        dp[i][j]+=dp[i-1][j]*((2*(i-1)-j+1)*(2*(i-1)-j)/2);///两个人都没对其他情侣动手
    }

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int N=1000;
ll dp[N+5][N+5],p[N+5];
void init()
{
    p[0]=1ll;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        p[i]=p[i-1]*2ll%mod;///情侣之间也有座位先后顺序，预处理出2^n
    dp[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=N;i++)
        for(ll j=0;j<=i;j++)
        {
            ///第i对情侣不分开
            dp[i][j]+=dp[i-1][j]*j%mod;
            if(dp[i][j]>mod)
                dp[i][j]-=mod;
            if(j>0)
            {
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(2*(i-1)-(j-1)+1)%mod;
                if(dp[i][j]>mod)
                    dp[i][j]-=mod;
            }

            ///第i对情侣分开
            dp[i][j]+=dp[i-1][j+2]*((j+2)*(j+1)/2)%mod;
            if(dp[i][j]>mod)
                dp[i][j]-=mod;
            dp[i][j]+=dp[i-1][j+1]*(2*(i-1)-(j+1)+1)*(j+1)%mod;
            if(dp[i][j]>mod)
                dp[i][j]-=mod;
            dp[i][j]+=dp[i-1][j]*((2*(i-1)-j+1)*(2*(i-1)-j)/2)%mod;
            if(dp[i][j]>mod)
                dp[i][j]-=mod;
        }
}
int n;
ll d;
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d%lld",&n,&d))
    {
        ll ans=0,tmp=1ll;
        for(int i=0;i<=n;i++) ///O(n)累加算结果
        {
            ans+=dp[n][i]*tmp%mod;
            if(ans>mod) ans-=mod;
            tmp=tmp*d%mod;
        }
        ans=ans*p[n]%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}