【洛谷P3177】树上染色【树形DP(背包)】

原创 于 2023-08-18 14:39:26 发布 · 726 阅读 · 1 ·
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#算法 #动态规划 #图论

[HAOI2015] 树上染色

题目描述

有一棵点数为 nnn 的树，树边有边权。给你一个在 0∼n0 \sim n0∼n 之内的正整数 kkk ，你要在这棵树中选择 kkk 个点，将其染成黑色，并将其他的 n−kn-kn−k 个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间的距离的和的收益。问收益最大值是多少。

输入格式

第一行包含两个整数 n,kn,kn,k。

第二到 nnn 行每行三个正整数 u,v,wu, v, wu,v,w，表示该树中存在一条长度为 www 的边 (u,v)(u, v)(u,v)。输入保证所有点之间是联通的。

输出格式

输出一个正整数，表示收益的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

3 1
1 2 1
1 3 2

样例输出 #1

3

提示

对于 100%100\%100% 的数据，0≤n,k≤20000 \leq n,k \leq 20000≤n,k≤2000。

分析

一看枚举所有染色情况就不现实，所以这种最值一般都是DP（组合数也都算不出来），而且允许 n2n^2

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树上染色
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<think>好的，用户想了解树结构上的染色问题或算法。首先，我需要明确树结构染色的基本概念。树是一种分层的数据结构，由节点和边组成，没有环路。染色问题通常涉及给节点或边着色，满足特定条件，比如相邻节点颜色不同。这在图论中很常见，但树作为特殊图结构可能有更高效的算法。 接下来，我得回忆常见的树染色算法。比如，二叉树的最小染色数。根据四色定理，平面图四色足够，但树结构更简单，可能只需两色。比如，二分图可以用两种颜色区分相邻节点，而树是二分图，所以两色即可。用户可能想知道具体怎么实现。 然后，可能需要考虑不同的约束条件。比如，顶点染色、边染色，或者有额外限制，如每个节点颜色不能与父节点或子节点相同。不同约束下的算法复杂度不同。例如，贪心算法在树结构中可以高效找到可行解，因为树的结构层次分明，可以按层次遍历染色。 还要考虑应用场景。树结构染色可能用于任务调度、寄存器分配、路径冲突避免等。比如，编译器中的寄存器分配需要给变量分配寄存器，避免冲突，树结构可能简化问题。 然后，我需要参考用户提供的引用内容。引用[1]提到数据结构和算法是程序的基础，引用[2]展示了树的具体结构（孩子兄弟表示法），引用[3]是R树用于空间搜索。虽然引用[3]可能不直接相关，但树结构在空间索引中的应用可能涉及区域划分，或许与染色问题有间接联系。 用户的问题可能涉及算法步骤和实现。例如，如何用DFS或BFS遍历树并染色。具体来说，根节点选一个颜色，子节点选另一个颜色，递归下去。对于n叉树，可能需要更多颜色，但根据树的性质，可能仍保持较低颜色数。 此外，可能需要讨论动态染色，即树结构变化时如何高效更新颜色。例如，插入或删除节点后，如何调整颜色而不全盘重算。这可能涉及局部调整的策略，保持整体颜色有效性。 还要注意可能的优化，比如最少颜色数。对于树来说，最小顶点染色数是2，但如果是边染色或其他约束，可能不同。例如，边染色可能需要Δ（最大度数）种颜色，根据Vizing定理。 最后，用户可能需要示例代码，比如用孩子兄弟树节点结构实现染色。根据引用[2]的结构，每个节点有firstChild和nextSibling指针，可以设计递归函数遍历并染色。 总结，回答需要涵盖树染色的基本概念、常见算法（如贪心）、应用场景、复杂度分析，以及可能的代码示例。同时，结合用户提供的引用，特别是数据结构的基础和树的具体实现，确保回答准确且有依据。</think>### 树结构的染色问题与算法 树结构的染色问题是图论中的一个经典问题，主要研究如何在满足特定约束条件下为树的节点或边分配颜色。树作为一类特殊的无环连通图，其染色问题通常具有高效的解决方案。 --- #### 一、树染色问题的分类 1. **顶点染色** 要求相邻节点颜色不同，最小颜色数称为树的**色数**。 **定理**：树的色数为2（即树是二分图）[^1]。 **算法**：使用DFS或BFS遍历，交替染色。 2. **边染色** 要求相邻边颜色不同，最小颜色数为树的最大度数$Δ$（由Vizing定理保证）[^2]。 3. **特殊约束染色** 如路径染色（路径上颜色唯一）、动态染色（树结构变化时更新颜色）等。 --- #### 二、树顶点染色算法实现（贪心法） 以二叉树为例，使用层次遍历实现两色交替染色： ```python class TreeNode: def __init__(self, val=0, left=None, right=None): self.val = val self.left = left self.right = right def color_tree(root): if not root: return queue = [(root, 0)] # 0表示颜色A，1表示颜色B while queue: node, color = queue.pop(0) node.color = color # 实际应用中可将颜色存储在节点属性中 if node.left: queue.append((node.left, 1 - color)) if node.right: queue.append((node.right, 1 - color)) ``` --- #### 三、应用场景 1. **任务调度** 将任务视为树节点，相邻任务需分配不同资源（如CPU时间片）。 2. **网络路由** 避免相邻路径的通信冲突（边染色问题）[^3]。 3. **编译器优化** 寄存器分配中，变量依赖关系构成树结构，通过染色分配寄存器。 --- #### 四、复杂度与优化 - **时间复杂度**：$O(n)$，通过遍历实现。 - **空间复杂度**：$O(n)$，递归或队列存储节点。 - **优化方向**：动态染色（局部更新）、分布式染色（并行处理子树）。 --- #### 五、孩子兄弟表示法的染色实现 根据引用[2]中的树结构定义： ```c struct ChildSiblingTreeNode { void *data; struct ChildSiblingTreeNode *firstChild; struct ChildSiblingTreeNode *nextSibling; }; void color_tree(struct ChildSiblingTreeNode *node, int color) { if (!node) return; // 染色操作（例如标记到data字段） struct ChildSiblingTreeNode *child = node->firstChild; while (child) { color_tree(child, 1 - color); // 子节点交替染色 child = child->nextSibling; } } ``` ---
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