求Fibonacci数的三种方法和时间复杂度解析

题目：

定义Fibonacci数列如下：  
f(0)=1

f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2), n>=2

输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

解答一：

直接用公式写递归函数。很简单，很低效，就不写了。时间复杂度T(N) = T(N-1) + T(N-2); 也是f(n)本身，1.5^n<=f(n+1)<=2^n, n>=1。
时间复杂度证明：
用y表示f(n+1), x表示f(n)
(1) y >= x>=1, n>=0
(2) y <= 2x, n>=1，即从n=1开始，Fibonacci数列的上限是一个等比为2的数列。
(3) 由(1)(2)可以推算出，(x+y)/y = 1 + x/y >= 1 + 1/2 = 1.5, n>=1，即y >= 1.5x, n>=2。又有f(2)/f(1) >= 1.5，所以不等式也适用于n=1，即从n=1开始，Fibonacci数列的下限是一个等比为1.5的数列。
(4) 由(1)(3)可以推算出，(x+y)/y = 1 + x/y <= 1 + 1/1.5 = 5/3，即从某个数开始，Fibonacci数列的上限是一个等比为5/3的数列。
(5) (3)(4)可以反复进行下去，上下限的比例逐渐靠拢。最终收敛在黄金比例1.6180339887...。

解答二：

用循环求，也很直接，效率很高了，时间复杂度是O(n)。

int f(int n)

{

     if(n <= 1)

          return 1;

     int f0=1, f1=1;

     for(int i=2; i<=n; ++i)

     {

          int t=f0+f1;

          f0=f1;

          f1=t;

     }

     return f1;

}

  

解答三：

用矩阵求，时间复杂度O(log n)，效率是最高的。

Fibonacci数列递推公式可以使用矩阵表达：

[f(n),f(n+1)]=[f(n-1),f(n)] * =[f(0),f(1)] *=[1,1]*, n>=0

用G(n)表达该矩阵的n次方，规定G(0)为单位阵I。

那么

G(2n)=G(n)*G(n)

G(2n+1)=G(n)*G(n)*G(1)

写出递归函数【伪代码】，时间复杂度O(log n)：

Matrix2x2 g(int n)

{

     if(n<=0) return G(0);

     if(n==1) return G(1);

     Matrix2x2 t = f(n/2);

     return t*t*G(n%2);

}

矩阵运算还是比较麻烦，比较耗时的，仔细研究G(n)的结构，容易发现G(n)可以表示为如下形式：

这可以很容易地用数学归纳法证明。就不赘述了。

也就是说可以用两个整数(x,y)来表示G(n)。

f(n)=[1 1]*=x+y

这样可以重新实现该递归函数【C++代码】:

void g(int n, int& x, int& y)

{

                 if(n<=1)

                {

                                x = 0;

                                y = 1;

                }

                 else

                {

                                 int x1, y1;

                                g(n/2, x1, y1);

                                x = x1*x1+y1*y1;

                                y = (2*x1+y1)*y1;

                                 if(n % 2)

                                {

                                                 int t = x;

                                                x = y;

                                                y += t;

                                }

                }

}

  

int f2(int n)

{

                 int x, y;

                g(n, x, y);

                 return x+y;

}