求Fibonacci数的三种方法和时间复杂度解析

本文深入探讨了Fibonacci数列的三种高效计算方法:递归函数、循环求解和矩阵求解。详细分析了每种方法的时间复杂度,并通过数学归纳法证明了矩阵求解方法的时间复杂度为O(logn)。本文旨在为读者提供一种快速、准确计算Fibonacci数列第n项的解决方案。

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题目:
定义Fibonacci数列如下:  
f(0)=1
f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2), n>=2

输入n,用最快的方法求该数列的第n项。

解答一:
直接用公式写递归函数。很简单,很低效,就不写了。时间复杂度T(N) = T(N-1) + T(N-2); 也是f(n)本身,1.5^n<=f(n+1)<=2^n, n>=1。
时间复杂度证明:
用y表示f(n+1), x表示f(n)
(1) y >= x>=1, n>=0
(2) y <= 2x, n>=1,即从n=1开始,Fibonacci数列的上限是一个等比为2的数列。
(3) 由(1)(2)可以推算出,(x+y)/y = 1 + x/y >= 1 + 1/2 = 1.5, n>=1,即y >= 1.5x, n>=2。又有f(2)/f(1) >= 1.5,所以不等式也适用于n=1,即从n=1开始,Fibonacci数列的下限是一个等比为1.5的数列。
(4) 由(1)(3)可以推算出,(x+y)/y = 1 + x/y <= 1 + 1/1.5 = 5/3,即从某个数开始,Fibonacci数列的上限是一个等比为5/3的数列。
(5) (3)(4)可以反复进行下去,上下限的比例逐渐靠拢。最终收敛在黄金比例1.6180339887...。

解答二:
用循环求,也很直接,效率很高了,时间复杂度是O(n)。
int f(int n)
{
     if(n <= 1)
          return 1;
     int f0=1, f1=1;
     for(int i=2; i<=n; ++i)
     {
          int t=f0+f1;
          f0=f1;
          f1=t;
     }
     return f1;
}
  
解答三:
用矩阵求,时间复杂度O(log n),效率是最高的。
Fibonacci数列递推公式可以使用矩阵表达:
[f(n),f(n+1)]=[f(n-1),f(n)] * =[f(0),f(1)] *=[1,1]*, n>=0
用G(n)表达该矩阵的n次方,规定G(0)为单位阵I。
那么
G(2n)=G(n)*G(n)
G(2n+1)=G(n)*G(n)*G(1)
写出递归函数【伪代码】,时间复杂度O(log n):
Matrix2x2 g(int n)
{
     if(n<=0) return G(0);
     if(n==1) return G(1);
     Matrix2x2 t = f(n/2);
     return t*t*G(n%2);
}
矩阵运算还是比较麻烦,比较耗时的,仔细研究G(n)的结构,容易发现G(n)可以表示为如下形式:

这可以很容易地用数学归纳法证明。就不赘述了。
也就是说可以用两个整数(x,y)来表示G(n)。
f(n)=[1 1]*=x+y
这样可以重新实现该递归函数【C++代码】:
void g(int n, int& x, int& y)
{
                 if(n<=1)
                {
                                x = 0;
                                y = 1;
                }
                 else
                {
                                 int x1, y1;
                                g(n/2, x1, y1);
                                x = x1*x1+y1*y1;
                                y = (2*x1+y1)*y1;
                                 if(n % 2)
                                {
                                                 int t = x;
                                                x = y;
                                                y += t;
                                }
                }
}
  
int f2(int n)
{
                 int x, y;
                g(n, x, y);
                 return x+y;
}
 
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