对B样条的理解和整理

最新推荐文章于 2025-08-19 18:09:38 发布
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本文深入探讨了B样条曲线的数学原理，解释了曲线上每个点如何通过所有控制点的加权平均来计算，为读者提供了理解复杂曲线生成机制的清晰视角。

B样条曲线上的每一个点其实是：所有控制点的一个加权平均。

https://www.cnblogs.com/icmzn/p/5100761.html

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B样条曲线是一系列控制点定义的参数曲线，通过多项式函数来近似表示。这些多项式函数的组合，在数学上形成了平滑连续的曲线。数学定义涉及到了多项式方程、基函数和knot向量等概念，这些内容将在后续章节中详细探讨。权重在NURBS曲线中扮演着特别的角色，它是一个标量值，附加于控制点之上，影响曲线的形状。权重可以被看作是一种“权重因子”，它可以拉近或推远控制点对曲线的影响。在几何学中，权重用于调整曲线的形状，尤其是在权重不均匀时，可以产生非圆锥曲线形状，如椭圆、双曲线等。
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B样条曲线
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以前在做规划仿真时，用的时贝塞尔曲线，但贝塞尔曲线有一个缺点，就是所有的点都参与计算，在规划中，大部分的情况，计算出来的路径点都是比较曲折的，用标准的贝塞尔就会与计算出来的路径点贴合度不高，这种情况下，当时是写了分段贝塞尔，每5个点为一组来分段计算贝塞尔。大体是按照上述的递推公式来编写递归函数，当然，这个递归函数有一些细节需要注意一下。由于 k = 1 时，就会退化为分段函数，因此 k 至少也要为 2。，因此许多的规划算法也都采用B样条的方式来平滑曲线。P 点就是控制点，也就是规划时的关键路径点。
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B样条表达式与贝塞尔曲线十分相似，最大的区别就是基函数的不同。下标由伯恩斯坦基函数的n变为B样条基函数的k，表示B样条的多项式的次数和控制顶点的数目是没有关系的，而是由使用者自定义的。B样条的表达式为：其中，Pi为n个控制顶点，Bik(u)称为k阶（k-1次）B样条基函数。k用以刻画阶次，可以是2到n+1之间的任意整数。对于贝塞尔曲线来说，阶数和次数是一样的，都是n。但对于B样条，阶数k就是次数k-1加1，和n无关。B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减参数u的序列。
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