动态规划DP原理

摘自《ACM/ICPC承租设计与分析》 沈云付 编著 清华大学出版社

一、动态规划的基本思想

动态规划：动态规划就是在多阶段决策问题中，各阶段采取的决策依赖于目前状态，并引起状态的转移，以期求得最优化的过程。

动态规划中当前阶段的状态依赖于上一阶段和上一阶段的决策结果。

状态转移方程：第k阶段的状态Sk和本阶段的决策Dk确定第k+1阶段的状态Sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律可用等式Sk+1=Fk(Sk，Dk)形式化表示；该等式称为状态转移方程。

算法思想：

（1）动态规划算法将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题。

（2）从这些子问题的解得到原问题的解。这些子问题往往不互相独立。

（3）分解时得到的子问题数目可能很多，但如果能够保存已解决的子问题的解，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而有可能得到多项式时间算法。

二、动态规划算法的基本要素

（1）最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

（2）重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。

三、动态规划求解步骤

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

（2）递归地定义最优值（写出状态转移方程,或称动态规划方程）。

（3）以自底向上（或自顶向下）的方式计算出最优值。

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

四、动态规划原理
     无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略，简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。