数轮中结论记录，超大指数取模

最新推荐文章于 2025-07-05 16:11:31 发布
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原文链接：http://www.cnblogs.com/Commence/p/5882171.html
本文详细介绍了指数循环节公式a^b%c=a^(b%phic+phic)%c的数学原理及其应用，该公式在计算机科学中用于解决特定的模幂运算问题，有助于提高算法效率。

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指数循环节公式：a^b%c = a^( b%phic+phic )%c

转载于:https://www.cnblogs.com/Commence/p/5882171.html

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当前设计了一款基于单片机的智能婴儿床控制系统，是一种能够监测婴儿状态，提供智能安抚，还可进行远程监控的控制系统，该系统主要组成部分分为：环境质量模块、温湿度监测模块、声音模块、报警模块、安抚情绪模块以及Wi-Fi模块六大模块：
记录些系统设计架构实现方案（5）
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大数取模运算y=g^a mod n 其中n为不小于1024比特的整数
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给出一个高效程序计算模指数运算y=g^a mod n，其中n为不小于1024比特的整数
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费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 快速幂超时 k = 998244353 def fpow(a, b): ans = 1 while b > 0: if b % 2 == 1: ans = ans * a % k b //= 2 a = a * a % k
大数取模运算，快速幂取模运算
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1.快速幂取模 http://www.cnblogs.com/yinger/archive/2011/06/08/2075043.html 快速幂取模就是在O(logn)内求出a^n mod b的值。算法的原理是ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c  long exp_mod(long a,long n,long b) { long t; if(...
快速幂 & 大数取模及例题(极其详细)
smallrain6的博客
02-02 1万+
首先，以杭电OJ的一道题引入话题 人见人爱A ^ B 接着，先给出取模的几个重要结论： (a * b) % p = (a % p * b) % p (a + b) % p = (a % p + b) % p (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a - b）% p = (a % p - b % p) % p (a * b）% p = (a % p * b % p) % p 对于最后一条性质，即多个因子连续的乘积取模的结果等于每个因子取模后的乘积再取模的结果 上题的要求也简
指数取模的方法
Facico的博客
07-08 1万+
简介xymodpx^y\mod p 当y很大的时候，怎么办？方法这里只讲当x与p互质时的情况。 所以x%p与p互质，那么就相当于x与p互质，就相当于p是个质数，所以根据欧拉定理 xφ(p)≡1(modp)x^{\varphi(p)}≡1(\mod p) 所以xyx^y就可以拆解成 xφ(p)∗φ(p)∗......∗φ(p)∗(ymodφ(p))modp=x1∗1∗......∗1∗φ(p
关于从原始序列取模无平方奇数整数的二进制序列的唯一性
03-03
本文旨在深入解析一篇名为“关于从原始序列取模无平方奇数整数的二进制序列的唯一性”的研究论文中的核心理论与实践成果。该研究聚焦于探讨在特定条件下，即当序列被无平方奇数整数取模时，二进制序列的独特性和可...
信息文化中的数学应用：10个改变世界的例子
AI天才研究院
07-05 621
在我们沉浸于数字信息洪流的今天，数学作为这一切的隐形架构师，默默塑造着我们的信息文化。本文将带领读者探索10个改变世界的数学应用，揭示那些看似抽象的数学概念如何演变为我们日常生活中不可或缺的技术。从互联网的底层架构到保障信息安全的加密技术，从智能手机中的信号处理到预测未来的人工智能算法，数学不仅是科学的语言，更是信息时代的基石。通过生动的比喻、直观的图表和实际案例，我们将一步步揭开数学与现代信息文化之间密不可分的关系，以及这些突破性应用如何持续改变着我们感知、处理和交流信息的方式。
ACM比赛经验、刷题记录及模板库总结（更新中）
lordofadventure的博客
03-08 2121
文章目录前言第一部分 经验分享及感受第二部分 刷题记录一、基础算法&程序语言二、综合题（现场题）三、动态规划四、图论五、字符串算法六、数据结构七、数学八、网络流九、博弈十、随机算法十一、其他第三部分 专项题库第四部分 模板库附录A 题目索引附录B 常用平台参考文献 前言 本文所提及的部分题目代码，可以在https://github.com/volactina/ACM上找到 第一部分 经验分...
大数取模：一般取模+技巧取模+快速幂取模+欧拉函数(费马小定理)
Senvenno27
09-02 1万+
一般取模运算： (a^n)%m。 我们可以改写为(a^n)%m= (（a%m)^n)%m, 即循环n次。 缺点：低效，循环了n次。int exp_mod(int a,int n,int m){ a = a%m; int temp = 1; while(n--) { temp = temp * a; temp = temp % m
大数取模运算
wu_cai_的专栏
03-22 1万+
大数取模运算 sicily 1020 Big Integer
快速指数取模的实现算法
异域の蜗牛's blog
10-26 1万+
         由于一个整数的指数结果很大，可能远远超出计算机处理范围，故必须简化计算方式．这里采用快速取模方法.原理为：在4的5次方运算中，5能够化作2*2+1，这是因为5的2进制数为101．所以4的5次方运算便能写作((4)^2*1)^2*4,其中1表示的是4的0次方，^2表平方．再运用模的性质：(a*b)mod(m)=(amod(m)*bmod(m))mod(m),所以（4^5）m
大数取模
帅帅的博客
12-12 335
#include #include #include using namespace std; int main() { char n[1000]; int m; int ans = 0; scanf("%s %d",&n,&m); for (int i = 0;i < strlen(n);i ++){ int num = n[i]
算法——指数取模运算（蒙哥马利算法）
treasure_wang的博客
12-03 8756
蒙哥马利算法简介 蒙哥马利(Montgomery)幂模运算是快速计算a^b%k的一种算法，是RSA加密算法的核心之一。——百度百科 用到的公式 (a * b) % p = a % p * b % p % p 推论 base^exp % p = （base % p） * （base % p） * … *（base % p） % p（总共exp个小括号） 若为exp偶数 = （base^2 %...
大数取模运算Barrett reduction
YKRY35的博客
01-27 1万+
Barrett reduction算法的证明和使用。 作者刚做完了课程设计作业，闲来无事写篇文章。 大数中的指数运算，需要对一个数进行取模，因为最大可能二进制下2048位的2048位次方，所以必须边做乘法边取模。 乘法使用快速幂，如果底数位数是x，指数位数是e，底数足够大的话，复杂度取决于模数，模数是m位的话，复杂度是O(m*m*e)。程序里，大数的存储是2的32次方进制的，这里...
算法竞赛中的组合数学
最新发布
07-18
<think>首先，用户的问题是关于“算法竞赛中组合数学常见问题及解题方法”。我需要基于系统指令和提供的引用信息来构建回答。 关键指令： - 所有行内数学表达式用$...$格式。 - 独立公式用$$...$$格式并单独成段。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 - 回答结构清晰，逐步解决问题，保证真实可靠。 - 参考站内引用：引用[1]、[2]、[3]提供了相关信息。 用户意图：了解算法竞赛中组合数学的常见问题、解题技巧和相关算法。 从引用中提取相关部分： - 引用[1]：提到“素数与超素表达式”，但主要标题是“算法竞赛中的数学问题”，包括数论、组合数学等。 - 引用[2]：在“数学题”部分提到“题型：数论、组合数学、概率统计等。解题思路：熟悉常见数论算法（如欧几里得算法、快速幂）。理解排列组合的基本原理。注意大数处理和高精度计算。”这直接相关。 - 引用[3]：提到“数学综合：数论、组合数学、概率期望等2200+”，强调了组合数学在竞赛中的重要性。 我的回答结构： 1. **引言**：简要介绍组合数学在算法竞赛中的作用。 2. **常见问题类型**：列出组合数学中的常见问题，如排列组合、鸽巢原理、容斥原理等。 3. **解题方法**：详细解释解题技巧和相关算法，包括数学公式和代码示例（如果需要）。 4. **示例**：提供一个简单的例子来演示。 5. **相关问题**：生成2-3个相关问题。 6. **引用**：在相关段落末尾添加引用标识。 确保数学表达式格式正确： - 行内：如$C(n,k)$ - 独立：如二项式系数公式$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 内容大纲： - **常见问题**： - 排列组合问题（如计算排列数、组合数）。 - 鸽巢原理（抽屉原理）。 - 容斥原理（用于计数问题）。 - 生成函数（用于序列求和）。 - 图论中的组合问题（如路径计数）。 - 概率与组合（如期望值计算）。 - **解题方法**： - 使用基本公式：如$P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$, $C(n,k) = \binom{n}{k}$。 - 动态规划：用于计算组合数或解决优化问题。 - 递归和分治。 - 数学工具：如Lucas定理、Catalan数。 - 高精度计算：处理大数。 - 参考引用[2]中的解题思路。 生成相关问题： 1. 如何高效计算大组合数模素数？ 2. 容斥原理在解决计数问题中的应用实例？ 3. 组合数学在动态规划中的典型用例？ 最后，确保回答真实可靠，基于标准算法竞赛知识。</think>### 算法竞赛中组合数学常见问题及解题方法 组合数学是算法竞赛的核心内容之一，涉及计数、排列、组合等数学问题，常用于解决路径计数、子集生成、概率计算等场景。掌握其基础概念和解题技巧能显著提升竞赛表现。下面我将逐步介绍常见问题类型、解题方法，并附上示例。 #### 一、组合数学常见问题类型 在算法竞赛中，组合数学问题通常分为以下几类，这些类型在题目中频繁出现，要求选手灵活应用数学原理： 1. **排列组合问题**：计算对象排列或组合的数量，如计算$n$个元素的排列数$P(n,k)$或组合数$C(n,k)$。常见于子集选择、序列生成等题目[^2]。 2. **鸽巢原理（抽屉原理）问题**：证明或计算在分配对象时，至少有一个“抽屉”包含多个对象。例如，证明在$n+1$个物品放入$n$个盒子时，至少有一个盒子包含两个物品[^2]。 3. **容斥原理问题**：处理重叠集合的计数，如计算多个集合的并集大小。典型应用包括求解满足多个条件的对象数量（如“至少满足一个条件”的计数）[^2]。 4. **生成函数问题**：使用形式幂级数表示序列，用于求解序列和或递推关系。例如，用生成函数计算斐波那契数列或组合优化问题。 5. **图论中的组合问题**：结合图论，如计算图中路径数量、树的子树计数或网络流中的组合优化。常见于最短路径变体或网络设计题目[^3]。 6. **概率与组合问题**：涉及期望值、概率分布的计算，如随机抽样或游戏策略中的胜率分析。这类问题常结合组合计数和概率公式[^3]。 #### 二、解题方法与技巧 解决组合数学问题需结合数学推导和算法实现。以下是关键解题方法，参考竞赛策略和常见题型[^2][^3]： 1. **基础公式应用**：直接使用数学公式快速计算。例如： - 排列数公式：$P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ - 组合数公式：$$ C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ 在代码中，可通过预计算阶乘优化（注意大数处理）。 - 示例：计算从5人中选择3人的组合数，$C(5,3) = 10$。 2. **动态规划（DP）**：用于高效计算组合数或解决优化问题，尤其当$n$较大时。DP可避免重复计算： - **状态定义**：设$dp[i][j]$表示前$i$个元素中选择$j$个的组合数。 - **状态转移方程**：$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]$（基于选或不选当前元素）。 - 代码示例（Python）： ```python def nCr(n, k): dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)] for i in range(n+1): for j in range(min(i, k)+1): if j == 0 or j == i: dp[i][j] = 1 else: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] return dp[n][k] ``` 此方法时间复杂度$O(nk)$，适合中等规模问题[^2]。 3. **递归与分治**：处理子问题分解，如Catalan数计算（用于二叉树计数或括号匹配）： - Catalan数公式：$$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $$ - 递归实现：$C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-1-i}$，但需备忘录优化避免指数级复杂度。 4. **数学工具与定理**： - **容斥原理**：计算并集大小，公式为： $$ \left| \bigcup_{i=1}^n A_i \right| = \sum |A_i| - \sum |A_i \cap A_j| + \sum |A_i \cap A_j \cap A_k| - \cdots + (-1)^{n+1} |A_1 \cap \cdots \cap A_n| $$ 应用示例：求解1到100中不被2或3整除的数个数。 - **Lucas定理**：用于模素数$p$下的大组合数计算，$ \binom{n}{k} \mod p $可分解为小问题。 - **鸽巢原理证明**：常用于构造性题目，直接推导结论。 5. **高精度与大数处理**：组合数常涉及阶乘，易导致溢出。使用高精度库（如Python的`math.comb`）或模运算（如取模$10^9+7$）处理[^2]。 6. **优化策略**： - 预计算阶乘和逆元，实现$O(1)$查询组合数。 - 结合贪心或二分搜索，减少搜索空间。 - 对于生成函数，使用多项式乘法加速（如FFT算法）。 #### 三、示例问题解析 **问题**：计算$n \times m$网格中从左上角到右下角的路径数（每次只能向右或向下移动）。 **解题**： - 这本质是组合问题：总路径数为$C(n+m-2, n-1)$，因为需要$n-1$次向下和$m-1$次向右移动。 - 公式：$$ \binom{n+m-2}{n-1} = \frac{(n+m-2)!}{(n-1)!(m-1)!} $$ - 代码（使用动态规划优化）： ```python def grid_paths(n, m): dp = [[0] * m for _ in range(n)] for i in range(n): for j in range(m): if i == 0 or j == 0: dp[i][j] = 1 else: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] return dp[n-1][m-1] ``` 时间复杂度$O(nm)$，适用于大网格[^2]。 #### 四、备赛建议 - **刷题重点**：多练习真题如Codeforces或LeetCode上的组合数学标签题目（难度2200+），强化手玩能力和DP应用[^3]。 - **错误总结**：记录经典错题（如边界条件处理），分析优化点。 - **资源参考**：使用在线题库（如AtCoder）和书籍（如《组合数学》），结合引用[2]中的数学题解题框架[^2][^3]。 组合数学在竞赛中无处不在，掌握这些方法能高效解决计数和优化问题。如果您有具体题目，我可以进一步分析！
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