分治算法原理与应用-优快云博客

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并，这就是分治算法。其典型的应用包括：排序算法（快速排序、归并排序），傅立叶变换等。

分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

7. return(T)

    其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

其算法复杂度为：(n为问题规模)

T(n) = O(1) //如果n<=c ,c是n中一个可以直接求解的规模

aT（n/b） + D(n) + C(n) //n>c

在快速排序中,α 是为2的, b也为2, 则分解(就是取参照点,可以认为是1), 合并(把数组合并,为n), 因此D(n) + C(n) 是一个线性时间Ѳ(n).

这样时间就变成了T(n) = 2T(n/2) + Ѳ(n).

下面有点复杂了, 在每个层上的时间复杂度为: 第在一层上是cn(c为比较一次时所用的时间), 在第二层上时数组被分成了两部分, 每部分为 n/2, 则在第二层上时间为 c * n/2 + c* n/2 = cn, 同样在第三层上, 被分成了四部分, 时间为c*n/4 + c*n/4 + c*n/4 + c*n/4 = cn. 层高一共是按刚才说的是Log₂n层,每一层上都是cn, 所以共消耗时间 cn * Log₂n; 则总时间:

cn * Log₂n + cn = cn(1+Log₂n) 即 Ѳ(nLog₂n).

则最终的这个函数的时间复杂度为：

C * D(n)

D(n)为递归深度，C为处理单个问题所需的时间复杂度。