对质数筛法和质因数分解的模版实验 - 数论

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本文介绍了质数的定义及高效判断方法，并提供了C++实现示例。还讲解了质因数分解的概念及其应用，包括如何求解质因数及因子个数等，并给出了一种随机性素数判定算法——Miller-Rabin算法。

实验环境：win10
实验IDE：codeblocks

概念

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

素数判断

按照定义，最暴力的素数判断方法是遍历（2-N-1）的所有数，看它能否被N整除，只要出现一个能整除的，它就不是素数。
在我们数论中，素数有更高效的判断方法，就是只要判断2-sqrt(n)之间的数是否能整除N即可。具体代码如下。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int is_prime(int N)
{
    int m=sqrt(N+0.5);
    for(int i=2;i<=m;i++)
        if(N%i==0) return 0;//不是素数
    return 1;//是素数
}
int main()
{
    cout<<is_prime(6);
    return 0;
}

关于预处理1-MAXN区间内的所有素数 - 质数筛法

备注

MAXN可以由自己定义，一般是求1e6内的质数。
下面是 MAXN=100000 的示例，分别筛去 2,3,5…的倍数，剩下的就是质数了。
注：cnt为1-MAXN质数个数，上图第二行输出的是前100个素数。
应用形式，若需要重复调用1-MAXN区间内的素数，可以先预处理，而不是再重新取素数（重新取素数又要重新判断，耗时）。

C++模版

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
bool vis[MAXN+1]={1,1};//假定0,1是质数,但其实不是.
int prime[MAXN+1];
int cnt=0;
void getPrime()
{
    int i,j;
    int m=sqrt(MAXN+0.5);
    for(i=2;i<=m;i++){
        if(!vis[i]){
            for(j=i*i;j<=MAXN;j+=i) vis[j]=1;
        }
    }
    for(i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;
    }
}
int main()
{
    getPrime();
    cout<<cnt;//输出1-MAXN内的质数个数
    return 0;
}

质因数分解

概念

正整数的唯一分解定理：每个大于1的自然数n均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式：
n=p1^e1*p2^e2*…pr^er……
其中pi为质数，p1< p2< …< pr，且ei为正整数。
- 结论一：因子个数(1+e1)(1+e2)…(1+er)
- 结论二：n的所有因子之和：(1+p1+p1^2+…+p1^e1)(1+p2+p2^2+…+p2^e2)…*(1+pr+pr^2+…+pr^er)

C++模版

int fac[1000];//数组大小视具体情况而定
int cnt;
void getFactor(LL n)
{//求n的所有质因素
    cnt=0;
    LL m=sqrt(n+0.5);
    for(int i=2;i<=m&&n;i++){
        if(n%i==0){
            fac[cnt++]=i;
            while(n&&n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) fac[cnt++]=n;
}