数学建模--模糊综合评价

写在前面：
笔记为自行整理，内容出自课程《数学建模学习交流》，主讲人：清风

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概述

(1) 数学归纳法和秃子悖论
归纳法：当$n=1$时，某条件成立；假设$n=k$时成立，接下来验证$n=k+1$时也成立。
秃子悖论：假如一个人头发茂密，那当他减少一根头发后不是秃子；假设减少$k$根不是秃子，那么减少$k+1$根也不是秃子。
解释：压死骆驼的最后一根稻草；量变引起质变；模糊。
(2) 数学中研究的量的划分
$\text{量}\{\begin{array}{l}\text{确定性：经典数学（几何、代数）}\\ \text{不确定性}\{\begin{array}{l}\text{随机性（概率论、随机过程）}\\ \text{灰性（灰色系统）}\\ \text{模糊性（模糊数学）}\end{array}\end{array}$
(3) 生活中的确定性与模糊性
确定：身高、体重、性别、年龄
模糊：帅、高、白、年轻
(4) 模糊数学
模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。
由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。——百度百科

经典集合和模糊集合的基本概念

(1) 经典集合与特征函数
a.集合：具有相同属性的事物的集体。
b.集合的基本属性：互斥性，确定性。
c.数学中对于经典集合的刻画：特征函数
f A :   U → { 0 , 1 }    U : 论域 ( 感兴趣的一些对象的集合 ) ； f A : 集合 A 的特征函数 f_A:\ U\rightarrow \left\{ 0,1 \right\} \ \ U:\text{论域}\left( \text{感兴趣的一些对象的集合} \right) \text{；}f_A:\text{集合}A\text{的特征函数} fA​: U→{0,1}  U:论域(感兴趣的一些对象的集合)；fA​:集合A的特征函数
举个例子：
A = { 60 , 61 , . . . , 100 }    f A = { 1 ,   a i ≥ 60 0 ,   a i < 60    U : 全班成绩的一个集合 { 42 , 96 , 85 , . . . } A=\left\{ 60,61,...,100 \right\} \ \ f_A=\left\{ \begin{array}{l} 1,\ a_i\ge 60\\ 0,\ a_i<60\\ \end{array} \right. \ \ U:\text{全班成绩的一个集合}\left\{ 42,96,85,... \right\} A={60,61,...,100}  fA​={1, ai​≥600, ai​<60​  U:全班成绩的一个集合{42,96,85,...}
$\text{则有：}\forall x\in U,f_A\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\in A\\ 0,x\notin A\end{array}$
(2) 模糊集合与隶属函数
a.模糊集合：用来描述模糊性概念的集合（帅、高、年轻）。
b.与经典集合不同，模糊集合承认亦此亦彼。
c.数学中对于模糊集合的刻画：隶属函数
$u_A:U\to \left[0,1\right]\text{（此处为区间，注意与集合的区别）}$
例：
$A="年轻"$，$U=(0,150)$
$$u_A\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,0<x<20\\ \frac{40-x}{20},20\le x\le 40\\ 0,40<x<150\end{array}$$
对于$U$中每个元素，均对应于$A$中的一个隶属度，隶属度介于$[0,1]$，越大表示越属于这种集合。（此例中越接近于1代表越年轻）

隶属函数的三种确定方法

(1) 模糊统计法
原理：寻找多个人对同一个模糊概念进行描述，用隶属频率去定义隶属度。
例：询问100个人对于年轻认可的区间，$[0,20];[0,24]...$。假设有90个人认为20岁属于年轻区间，那么20岁对应的隶属频率就是$90/100$，进而得到隶属度为$0.9$。
(2) 借助已有的客观尺度（需要有合适的指标，并能收集到数据）

论域	模糊集	隶属度
设备	设备完好	完好率
产品	质量优质	正品率
家庭	小康家庭	恩格尔系数

注：指标需介于0和1之间
(3) 指派法（根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属度）


例如用柯西分布确定“年轻”的隶属函数：
因为“年轻”是偏小型（值越小隶属度越接近于1），对应柯西分布为：$$A\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\le a\\ \frac{1}{1+\alpha {\left(x-a\right)}^{\beta }},x>a\end{array}$$
有未知参数：$a、\alpha 、\beta$
根据生活经验可令$a=20$（观测值小于20时认为年轻，即隶属度为1），$A(30)=0.5$（一般认为40岁为中年人，30位于20与40中间，所以取0.5）。
同时，考虑到模型的简化，$\beta$一般取1或2。

应用：模糊综合评价

评价问题概述

模糊评价问题是要把论域中的对象对应到评语集中一个指定的评语或将方案作为评语集并选择一个最优的方案
在模糊综合评价中，引入了三个集合：
① 因素集（评价指标集）： U = { u 1 , u 2 , ⋯   , u n } U=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\} U={u1​,u2​,⋯,un​}
② 评语集（评价的结果）： V = { v 1 , v 2 , ⋯   , v m } V=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_m \right\} V={v1​,v2​,⋯,vm​}
③ 权重集（指标的权重）： A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } A=\left\{ a_1,a_2,\cdots ,a_n \right\} A={a1​,a2​,⋯,an​}
例如：评价一名学生的表现
U = { 专业排名，课外实践，志愿服务，竞赛成绩 } U=\left\{ \text{专业排名，课外实践，志愿服务，竞赛成绩} \right\} U={专业排名，课外实践，志愿服务，竞赛成绩}
V = { 优、良、差 } V=\left\{ \text{优、良、差} \right\} V={优、良、差}
A = { 0.5 , 0.1 , 0.1 , 0.3 } A=\left\{ 0.5,0.1,0.1,0.3 \right\} A={0.5,0.1,0.1,0.3}

一级模糊综合评价模型

对企业员工进行考核
步骤：
(1) 确定因素集
如员工的工作业绩、工作态度、沟通能力、政治表现等。记为：
U = { u 1 , u 2 , ⋯   , u n } U=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\} U={u1​,u2​,⋯,un​}
一级模糊评价中，$n$往往较小$(\le 5)$，且指标间的相关性弱。
(2) 确定评语集
如好、较好、中等、较差、很差等。记为：
V = { v 1 , v 2 , ⋯   , v m } V=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_m \right\} V={v1​,v2​,⋯,vm​}
(3) 确定各因素的权重
A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } A=\left\{ a_1,a_2,\cdots ,a_n \right\} A={a1​,a2​,⋯,an​}
$a_i表示第i个指标的权重，且\sum a_i=1$
确定权重的方法可以是Delphi法，也可以是层次分析法、熵权法。
(4) 确定模糊综合判断矩阵
对于指标$u_i$来说，对各个评语的隶属度为$V$上的模糊子集。对指标$u_i$的评判记为：
$${\mathbf{R}}_i=\left[r_{i1},r_{i2},\cdots ,r_{im}\right]$$
$r_{im}是指标i对于评语m的隶属度$
各指标的模糊综合评价矩阵为：
$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1m}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots & r_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n1}& r_{n2}& \cdots & r_{nm}\end{array}\right]$$
(5) 综合评判
综合评判结果${\mathbf{B}}_{1\text{×}m}={\mathbf{A}}_{1\text{×}n}\cdot {\mathbf{R}}_{n\text{×}m}$
记$\mathbf{B}=[b_1,b_2,\cdots ,b_m]$，若 max ⁡ { b 1 , b 2 , ⋯   , b m } = b k \max \left\{ b_1,b_2,\cdots ,b_m \right\} =b_k max{b1​,b2​,⋯,bm​}=bk​，则将该评价对象划分到评语$k$这一类。

多级模糊综合评价模型

若因素集中的元素较多，那他们之间难免存在相关性，因此我们可以对其进行归类。
例如评价某个学生的表现：
$$\text{因素集}U\{\begin{array}{l}\text{学习成绩}{U}_1\left(0.4\right)\{\begin{array}{l}\text{专业课成绩}\left(0.6\right)\\ \text{非专业课成绩}\left(0.4\right)\end{array}\\ \text{竞赛成绩}{U}_2\left(0.3\right)\{\begin{array}{l}\text{国家级竞赛成绩}\left(0.5\right)\\ \text{省级竞赛成绩}\left(0.3\right)\\ \text{校级竞赛成绩}\left(0.2\right)\end{array}\\ \text{个人荣誉}{U}_3\left(0.2\right)\{\begin{array}{l}\text{国家级荣誉}\left(0.5\right)\\ \text{省级荣誉}\left(0.3\right)\\ \text{校级荣誉}\left(0.2\right)\end{array}\\ \text{志愿服务}{U}_4\left(0.1\right)—\text{志愿服务次数}\left(1\right)\end{array}$$
二级模糊综合评价模型
(1) 划分因素集 U = { u 1 , u 2 , ⋯   , u n } U=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\} U={u1​,u2​,⋯,un​}为若干组 U = { U 1 , U 2 , ⋯   , U k } U=\left\{ U_1,U_2,\cdots ,U_k \right\} U={U1​,U2​,⋯,Uk​}
$$U:\text{第一级因素集}$$$$U_i:\text{第二级因素集}$$
(2) 确定评语集 V = { v 1 , v 2 , ⋯   , v m } V=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_m \right\} V={v1​,v2​,⋯,vm​}，并对第二级因素集$U_i=\left\{u_1^{\left(i\right)},u_2^{\left(i\right)},\cdots ,u_{n_i}^{\left(i\right)}\right\}$进行评判得到综合评价判断矩阵：
$${\mathbf{R}}_i=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}^{\left(i\right)}& r_{12}^{\left(i\right)}& \cdots & r_{1m}^{\left(i\right)}\\ r_{21}^{\left(i\right)}& r_{22}^{\left(i\right)}& \cdots & r_{2m}^{\left(i\right)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n_{i}1}^{\left(i\right)}& r_{n_{i}2}^{\left(i\right)}& \cdots & r_{n_{i}m}^{\left(i\right)}\end{array}\right]\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$$
若$U_i=\left\{u_1^{\left(i\right)},u_2^{\left(i\right)},\cdots ,u_{n_i}^{\left(i\right)}\right\}$的权重为$A_i=\left\{a_1^{\left(i\right)},a_2^{\left(i\right)},\cdots ,a_{n_i}^{\left(i\right)}\right\}$，则综合评判为${\mathbf{B}}_i={\mathbf{A}}_i\cdot {\mathbf{R}}_i(i=1,2,...,k)$
(3) 再对第一级因素 U = { U 1 , U 2 , ⋯   , U k } U=\left\{ U_1,U_2,\cdots ,U_k \right\} U={U1​,U2​,⋯,Uk​}进行综合评判，若权重为 A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a k } A=\left\{ a_1,a_2,\cdots ,a_k \right\} A={a1​,a2​,⋯,ak​}，则
$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{B}}_1\\ {\mathbf{B}}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{B}}_{\mathbf{k}}\end{array}\right]$$
综合评判为$\mathbf{B}=\mathbf{A}\cdot \mathbf{R}$
(4) 按最大隶属度原则确定相应评语或方案