动态规划问题经典例题

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前言

DP（Dynamic Programming）定义：
动态规划是分治思想的延伸，通俗一点来说就是大事化小，小事化无的艺术。在将大问题化解为小问题的分治过程中，保存对这些小问题已经处理好的结果，并供后面处理更大规模的问题时直接使用这些结果。

动态规划具备了以下三个特点：

1. 把原来的问题分解成了几个相似的子问题。
2. 所有的子问题都只需要解决一次。
3. 储存子问题的解

动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义(状态以及状态之间的递推关系)。

动态规划问题一般从以下四个角度考虑：

1. 状态定义
2. 状态间的转移方程定义
3. 状态的初始化
4. 返回结果

状态定义的要求：定义的状态一定要形成递推关系。

一句话概括：三特点四要素两本质
适用场景：最大值/最小值, 可不可行, 是不是，方案个数；

一、字符串分割

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状态：
子状态：前1，2，3，…,n个字符能否根据词典中的词被成功分词
F(i): 前i个字符能否根据词典中的词被成功分词
状态递推：
F(i): true{j < i && F(j) && substr[j+1,i]能在词典中找到} OR false
在j小于i中，只要能找到一个F(j)为true，并且从j+1到i之间的字符能在词典中找到，则F(i)为true。
初始值：
对于初始值无法确定的，可以引入一个不代表实际意义的空状态，作为状态的起始；
空状态的值需要保证状态递推可以正确且顺利的进行，到底取什么值可以通过简单的例子进行验证，这里取F(0) = true；
返回结果：F(n)；

import java.util.*;
public class Solution {
   
    public boolean wordBreak(String s, Set<String> dict) {
   
        boolean[] canBreak = new boolean[s.length() + 1];
        canBreak[0] = true;
        for(int i = 1;i <= s.length();i++){
   
            for(int j = 0;j < i;j++){
   
                if(canBreak[j] && dict.contains(s.substring(j,i))){
   
                    canBreak[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return canBreak[s.length()];
    }
}

二、三角矩阵的最小路径和

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状态：
子状态：从(n,n),(n,n-1),...(1,0),(1,1),(0,0)到最后一行的最短路径和；
F(i,j): 从(i,j)到最后一行的最短路径和；
状态递推：F(i,j) = min( F(i+1, j), F(i+1, j+1)) + triangle[i][j]；
初始值：F(n-1,0) = triangle[n-1][0], F(n-1,1) = triangle[n-1][1],..., F(n-1,n-1) = triangle[n-1][n-1]；
返回结果：F(0, 0)；
自底向上的方法，确定最后一行的最小值，然后从倒数第二行开始。

import java.util.*;
public class Solution {
   
    public int minimumTotal(ArrayList<ArrayList<Integer>> triangle) {
   
        if(triangle.isEmpty()){
   
            return 0;
        }
        //初始化
        ArrayList<ArrayList<Integer>> minPathSum = new ArrayList<>(triangle);
        int row = minPathSum.size();
        //从倒数第二行开始
        for(int i = row - 2;i >=0;i--){
   
            for(int j = 0;j <= i;j++){
   
              // F(i,j) = min( F(i+1, j), F(i+1, j+1)) + triangle[i][j]
                int curSum = Math.min(triangle.get(i+1).get(j),triangle.get(i+1).get(j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
                minPathSum.get(i).set(j,curSum);
            }
        }
        return minPathSum.get(0).get(0);
    }
}

三、路径总数

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状态：
子状态：从(0,0)到达(1,0),(1,1),(2,1),...(m-1,n-1)的路径数；
F(i,j): 从(0,0)到达F(i,j)的路径数
状态递推：F(i,j) = F(i-1,j) + F(i,j-1)
初始化：
特殊情况：第0行和第0列：F(0,i) = 1，F(i,0) = 1；
返回结果：F(m-1,n-1)；

import java.util.*;
public class Solution {
   
    /**
     * 
     * @param m int整型 
     * @param n int整型 
     * @return int整型
     */
    public int uniquePaths (int m, int n) {
   
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0;i