【一文读懂】什么是动态规划问题?

1. 概念

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种优化算法，用于求解具有**最优子结构（Optimal Substructure）和重叠子问题（Overlapping Subproblems）**性质的最优化问题。它通过将原问题拆分为子问题，存储子问题的解并避免重复计算，从而提高计算效率。

2. 适用条件

动态规划适用于以下两种情况：

1. 最优子结构（Optimal Substructure）
   • 问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。
   • 例如，最短路径问题的整体最优解可以由子路径的最优解构成。
2. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）
   • 该问题可以被拆解成多个子问题，并且这些子问题在计算过程中会被多次重复计算。
   • 例如，斐波那契数列的递归求解中，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，F(n-1)和F(n-2)会被多次计算。

3. 主要解法

动态规划通常有两种主要的实现方式：

• 自顶向下（Top-Down）：递归 + 记忆化搜索（Memoization），即通过递归计算子问题，并使用哈希表或数组存储已经计算过的子问题，以避免重复计算。
• 自底向上（Bottom-Up）：通过迭代方式，从小规模问题开始逐步推导出大规模问题的解，并存储所有子问题的解。

4. 经典问题

动态规划广泛应用于各种优化问题，以下是一些经典的 DP 问题：

1. 斐波那契数列：计算 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，通过记忆化搜索或表格存储避免重复计算。
2. 最长公共子序列（LCS）：在两个字符串中找到最长的公共子序列，应用二维 DP 解决。
3. 背包问题
   • 0/1 背包问题：物品不能拆分，每个物品只能取一次，使用二维 DP 解决。
   • 完全背包问题：每个物品可以无限取，使用滚动数组优化 DP。
4. 编辑距离：计算将一个字符串转换成另一个字符串的最小编辑次数。
5. 最长递增子序列（LIS）：寻找一个数组的最长递增子序列，应用 DP + 二分查找优化。
6. 矩阵链乘法：寻找最优的括号化方案以最小化矩阵乘法次数。

代码示例

示例 1：斐波那契数列（自底向上）

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[