lecture 2相关知识点 2.19

代码句子(目标：每个句子复习20遍)

np.array

np.zeros1️⃣

np.arange()

plt.spy

np.eye2️⃣

np.roll() 2️⃣

from numpy.linalg import eig

from scipy.linalg import fractional_matrix_power as power

def shift_operator_1d(N):
    I = np.eye(N)
    return np.roll(I,1,axis = 1)

f = np.array([0,0,1,0])
T1 = shift_operator_1d(4)

T3 = power(T1,-1)
print(T3)

def shift_operator_1d(N):
    I = np.eye(N)
    return np.roll(I,1,axis = 1)

1.np.eye(N)

生成一个 N×N 的单位矩阵

• 不是一个向量（n行1列或者n列一行），而是两个维度相同的矩阵
• 单位矩阵不是指矩阵内所有元素都是1.【单位矩阵：diagonal元素为1，其余元素全为0】

作用：

生成三种类型的单位矩阵identity matrix：（1）行列数相同，（2）行列数不同，（3）行列数相同，但是单位元素有偏移（垂直于diagonal的两个方向：左上，右下）

function1：output ( n rows n colomns)identity matrix (Identical number of rows and columns)

例一：输出三行三列的单位矩阵： 

import numpy as np

I = np.eye(3)
print(I)

输出：

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

function2:输出行列数不相同的单位矩阵

例二：输出3行5列的identity matrix

I = np.eye(3, 5)
print(I)


输出：
[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]]

3 行 5 列的矩阵（对角线仍然是 1，其余是 0）。 

function3：使用 k 参数 偏移单位矩阵的对角线

I = np.eye(4, k=1)  # 对角线向上偏移 1
print(I)

#输出
[[0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0.]]

2.np.roll(I,1,axis = 1)

语法

np.roll(a, shift, axis=None)

参数

• a：输入数组（这里是单位矩阵 I）。
• shift：要移动的步数，可以是正数（右/下移）或负数（左/上移）。
• axis：
  • axis=0 按行移动（纵向）。--y方向
  • axis=1 按列移动（横向）。--x方向

注意：

不要搞混np.roll()和np.eye()中添加第二个参数：k参数进行的操作（可以实操下图中的代码，比较代码1和代码2输出的矩阵的区别）。

下面一张图片的两张代码的作用生成的矩阵一样

#代码1
def shift_operator_1d(N):
    I = np.eye(N)
    return np.eye(N,k=1)
#代码2
def shift_operator_1d(N):
    I = np.eye(N)
    return np.roll(I,1,axis = 1)

3.plt.spy()

plt.spy(A)
plt.show()

作用：用点可视化矩阵中非零元素点位置

语法

plt.spy(A, markersize=10)

参数

A:矩阵

markersize：控制点点大小

4.range（a,b）

--[a,b) 包含a，不包含b

5.

• 网格分辨率 (N) 影响数值精度

  • 当 N 太小时，有限差分方法可能会出现色散误差，导致波前的小波动。
  • 增加 N（即减少 dx），可以更好地捕捉高频信息，减少数值误差。

• 有限差分方法的数值误差

  • 数值色散（Numerical Dispersion）：数值方法的传播速度与真实物理波的速度不同，导致错误的伪波。
  • 数值耗散（Numerical Dissipation）：高频分量随着时间推移被削弱，导致波形模糊。

• 如何优化你的数值计算 ✅ 增加 N（空间分辨率），减少色散误差。
  ✅ 使用高阶有限差分格式（比如 4 阶中心差分），减少误差。
  ✅ 调整 dt（时间步长），避免数值不稳定性。
  ✅ 检查初始条件，避免太陡的梯度造成误差。