DP 爬楼梯 问题

DP 爬楼梯 问题。

DP算法,爬楼梯问题可以这样分析,

dp[n]:表示到达第n层台阶有dp[n]种方法
转移方程:dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2] (n>2); 其中dp[1]=1,dp[2]=2;
简单分析:假设我们要走到第n层台阶,他的最后一步有两种决策,一个是走一步,另一个是走两步,所以到达第n层的方法=到达第n-1层的方法+到达第n-2层的方法。
 

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll dp[101],n,ans;
int main()
{
    cin>>n;
 	dp[1]=1,dp[2]=2;
 	for(int i=3;i<=n;i++)
  	    dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    cout<<dp[n]<<endl;
 return 0;
}

<think>嗯,用户想了解爬楼梯问题。这个问题我之前学过,可能和动态规划有关。先回忆一下,爬楼梯问题通常是指一个人每次可以爬1或2个台阶,问到第n阶有多少种不同的方法。对吧? 首先,我应该确认问题的基本描述。比如,假设n是正整数,每次可以1步或2步,要求不同的方法数。那基本情况是什么?当n=1的时候,只有一种方法,一步。n=2的时候,可以两次1步或者一次2步,所以两种方法。 接下来,对于更大的n,比如n=3,可能的法是1+1+1,1+2,2+1,所以三种方法。这时候我发现,n=3的方法数是n=1和n=2的方法数之和。这似乎符合斐波那契数列的规律。那是不是可以用递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)? 不过,我需要验证一下。比如n=4,根据递推应该是2+3=5种。实际计算的话,可能的法有:1+1+1+1,1+1+2,1+2+1,2+1+1,2+2,所以确实5种。看来这个递推是对的。 那问题转化为如何计算斐波那契数列的第n项。通常有三种方法:递归、记忆化递归、动态规划。递归的话会有重复计算,效率低,时间复杂度是O(2^n)。比如计算f(5)需要计算f(4)和f(3),而f(4)又要计算f(3)和f(2),这样重复计算了f(3)等。所以应该用动态规划来优化,保存中间结果,时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)或者更优。 另外,有没有更省空间的方法?比如只保存前两个状态,每次迭代更新。这样空间复杂度可以降到O(1)。比如用变量a和b分别表示f(n-2)和f(n-1),然后从n=3开始循环到n,每一步计算c = a + b,然后更新a = b,b = c。这样最终b就是结果。这样是否正确? 比如n=3时,初始a=1(f(1)), b=2(f(2)), c=3,正确。n=4时,a=2,b=3,c=5,正确。所以这个方法可行。 那还有没有其他情况需要考虑?比如n=0的时候?但通常题目中n是正整数,所以可能不需要处理n=0。不过有些情况下n可能为0,这时候方法数是1?比如如果允许站在第0阶作为起点。但用户的问题可能不需要考虑这个,不过应该提一下假设条件。 另外,这个问题是否还有其他变种?比如每次可以1、2、3步,或者不同的步数组合,这时候递推公式也会不同。比如如果可以1、3步,那么f(n) = f(n-1) + f(n-3)。但用户的问题可能只是基本的1或2步的情况。 总结一下,解决爬楼梯问题的方法: 1. 确定递推关系:f(n) = f(n-1) + f(n-2),初始条件f(1)=1,f(2)=2。 2. 使用动态规划或迭代方法,避免递归的重复计算。 3. 注意时间复杂度和空间复杂度的优化。 然后需要把这些步骤用清晰的结构解释给用户,可能还要给出代码示例?但用户的问题可能只是数学上的解释,但可能需要具体的例子说明。 比如,当n=5时,方法数是8,因为斐波那契数列是1,2,3,5,8... 对应的n项。所以验证是否正确。 现在,我需要将这些思路组织成一个结构化的回答,分步骤解释问题,递推关系,解法,复杂度分析,可能的应用或变种。同时注意数学表达式的正确使用,如行内用$...$,独立公式用$$...$$,并检查LaTeX是否正确。</think>### 爬楼梯问题介绍 **问题描述** 假设你正在爬楼梯,每次可以爬 **1个台阶** 或 **2个台阶**。问:到达第 $n$ 阶台阶共有多少种不同的方法? --- ### 关键分析步骤 1. **基本情况分析** - 当 $n=1$ 时,只有 **1种方法**:直接爬1步。 - 当 $n=2$ 时,有 **2种方法**:两次1步,或一次2步。 2. **递推关系推导** - 对于第 $n$ 阶台阶,最后一步可能是从第 $n-1$ 阶爬1步,或从第 $n-2$ 阶爬2步。 - 因此,递推公式为: $$ f(n) = f(n-1) + f(n-2) $$ 其中 $f(n)$ 表示到达第 $n$ 阶的方法数。 3. **初始条件** - $f(1) = 1$,$f(2) = 2$。 --- ### 解法与优化 1. **递归法(不推荐)** - 直接按递推公式实现,但会重复计算,时间复杂度为 $O(2^n)$。 ```python def climb_stairs(n): if n == 1: return 1 if n == 2: return 2 return climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2) ``` 2. **动态规划(推荐)** - 用数组存储中间结果,避免重复计算,时间复杂度 $O(n)$,空间复杂度 $O(n)$。 ```python def climb_stairs(n): if n <= 2: return n dp = [0] * (n+1) dp[1], dp[2] = 1, 2 for i in range(3, n+1): dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] return dp[n] ``` 3. **空间优化迭代法** - 仅保存前两个状态,空间复杂度优化为 $O(1)$。 ```python def climb_stairs(n): if n <= 2: return n a, b = 1, 2 for _ in range(3, n+1): c = a + b a, b = b, c return b ``` --- ### 复杂度与数学本质 - **时间复杂度** - 递归法:$O(2^n)$(指数级) - 动态规划/迭代法:$O(n)$(线性) - **数学本质** - 方法数 $f(n)$ 是 **斐波那契数列** 的第 $(n+1)$ 项。例如: - $n=3$,$f(3)=3$(对应斐波那契数列第4项) - $n=5$,$f(5)=8$(对应斐波那契数列第6项) --- ### 变种问题 1. **允许爬更多台阶** - 例如每次可爬 $1,2,3$ 步,递推公式变为: $$ f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) $$ 初始条件需调整。 2. **带权重的最小成本** - 每阶台阶有成本,求到达顶部的最小成本。需动态规划结合最小值选择。 --- **总结**:爬楼梯问题通过递推关系和动态规划高效解决,核心是避免重复计算。其数学本质与斐波那契数列一致,是理解分治与优化的经典案例。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

麦与陌生人

打赏每人一元起步·小气鬼

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付:¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足,请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值