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漂亮数组与分治算法

最新推荐文章于 2023-05-11 09:22:11 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/taoyuxin/p/11629834.html

本文探讨了漂亮数组的概念，即在整数排列中不存在特定的三元组满足A[k]*2=A[i]+A[j]的条件。通过分治算法，将数组分为奇数和偶数部分，确保了漂亮数组的构造。文章详细解释了如何利用仿射变换和递归策略解决此问题。

漂亮数组：

对于某些固定的 N，如果数组 A 是整数 1, 2, ..., N 组成的排列，使得：

对于每个 i < j，都不存在 k 满足 i < k < j 使得 A[k] * 2 = A[i] + A[j]。

那么数组 A 是漂亮数组。

给定 N，返回任意漂亮数组 A（保证存在一个）。

输入：4
输出：[2,1,4,3]

这个如何用分治算法呢？

分析

首先我们可以发现一个不错的性质，如果某个数组是漂亮的，那么对这个数组进行仿射变换，得到的新数组也是漂亮的。那么我们就有了一个想法：将数组分成两部分 left 和 right，分别求出一个漂亮的数组，然后将它们进行仿射变换，使得不存在满足下面条件的三元组：

A[k] * 2 = A[i] + A[j], i < k < j；
A[i] 来自 left 部分，A[j] 来自 right 部分。
可以发现，等式 A[k] * 2 = A[i] + A[j] 的左侧是一个偶数，右侧的两个元素分别来自两个部分。要想等式恒不成立，一个简单的办法就是让 left 部分的数都是奇数，right 部分的数都是偶数。

因此我们将所有的奇数放在 left 部分，所有的偶数放在 right 部分，这样可以保证等式恒不成立。对于 [1..N] 的排列，left 部分包括 (N + 1) / 2 个奇数，right 部分包括 N / 2 个偶数。对于 left 部分，我们进行 k = 1/2, b = 1/2 的仿射变换，把这些奇数一一映射到不超过 (N + 1) / 2 的整数。对于 right 部分，我们进行 k = 1/2, b = 0 的仿射变换，把这些偶数一一映射到不超过 N / 2 的整数。经过映射，left 和 right 部分变成了和原问题一样，但规模减少一半的子问题，这样就可以使用分治算法解决了。

算法

在 [1..N] 中有 (N + 1) / 2 个奇数和 N / 2 个偶数。我们将其分治成两个子问题，其中一个为不超过 (N + 1) / 2 的整数，并映射到所有的奇数；另一个为不超过 N / 2 的整数，并映射到所有的偶数。

作者：LeetCode
链接：https://leetcode-cn.com/problems/beautiful-array/solution/piao-liang-shu-zu-by-leetcode/
来源：力扣（LeetCode）
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class Solution:
    def beautifulArray(self, N):
        memo={1:[1]}#边界条件
        def f(N):#装饰器
            if N not in memo:
                odds=f((N+1)//2)
                evens=f(N//2)
                memo[N]=[2*x-1 for x in odds]+[2*x for x in evens]
            return memo[N]
        return f(N)

——2019.10.7

转载于:https://www.cnblogs.com/taoyuxin/p/11629834.html