协方差矩阵

概念

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设

为n维随机变量，称矩阵

为n维随机变量

的协方差矩阵（covariance matrix），也记为

，其中

为

的分量

和

的协方差（设它们都存在）。

例如，二维随机变量

的协方差矩阵为

其中

由于

，所以协方差矩阵为对称非负定矩阵。 ^[1]  

性质

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协方差矩阵具有如下性质：

（1）

.

（2）

，其中A是矩阵，b是向量。

（3）

。 ^[2]  

协方差矩阵的应用

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协方差矩阵可用来表示多维随机变量的 概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究。以二维随机变量

为例，由于

引入矩阵

，

及

的协方差矩阵

由此可得

由于

于是

的概率密度

此式可以推广到n维正态分布的情形。 ^[1]