单源最短路，迪杰斯特拉算法-优快云博客

一个包含n个结点的图，求其他点到源点s的最短距离。
设d[i]表示结点i到s的最短路径的长度，显然有d[s]=0；
设vis[i]表示i是否在集合S中，集合S中存放的是已经求得的最短路径的结点。
算法步骤：
首先在V-S集合中找到最小的d的下标k，然后将k加入到集合S中（令vis[k]=true），然后更新d值即可（令d[i]=min(d[i],d[k]+w[k][i])，其中w[k][i]表示边k-i的权值）
复杂度O(n^2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n;
int d[maxn+5];
bool vis[maxn+5];
int w[maxn+5][maxn+5];

int find(){//在V-S中找到最小的d
    int mind=inf;
    int mini=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(vis[i]==false&&d[i]<mind){
        mind=d[i],mini=i;
    }
    return mini;
}

void update(int cur){//更新V-S中的d
    for(int i=1;i<=n;i++)if(vis[i]==false){
        d[i]=min(d[i],d[cur]+w[cur][i]);
    }
}

void dijkstra(int cur){//求其他点到源点的最短路
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(d,inf,sizeof(d)),d[cur]=0;//s到s距离为0，其他到s为inf
    while((cur=find())!=-1){//如果所有点都被访问则退出，如果图连通则循环n-1次
        vis[cur]=true;
        update(cur);
    }
}

int main(){
    memset(w,inf,sizeof(w));
    int m;
    cin>>n>>m;//n个点m条边
    while(m--){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;//点x到y的边长为z
        w[y][x]=w[x][y]=z;//无向图
    }
    dijkstra(1);
    for(int i=1;i<=n;i++){//输出其他点到源点的最短路长度
        cout<<i<<ends<<d[i]<<endl;
    }
}

如果要打印出其他点到源点s的最短路径，可以采用记录父结点的方法，设结点i的父结点为per[i]（令per[s]=-1），然后将update函数稍微修改一下：

void update(int cur){//更新V-S中的d
    for(int i=1;i<=n;i++)if(vis[i]==false&&d[cur]+w[cur][i]<d[i]){
        d[i]=d[cur]+w[cur][i];
        per[i]=cur;
    }
}

用优先队列“优化”到O(mlogn)，m是边的条数，如果m与n^2同阶就比O(n^2)要慢了，不过很多情况都是m比n^2小。
这里和上面一种方法有两点不同：

查找最小d的下标用了优先队列。
更新d的时候，只会更新和cur相邻的点（cur就是最小d的下标）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> PAIR;//first为d，second为其下标

vector<int>nxt[maxn+5];
int n;
int d[maxn+5];
bool vis[maxn+5];
int w[maxn+5][maxn+5];

priority_queue<PAIR,vector<PAIR>,greater<PAIR> >pq;

void update(int cur){//更新与cur相邻的未访问的点的d
    for(int i=0;i<nxt[cur].size();i++){
        int x=nxt[cur][i];
        if(vis[x]==false){
            d[x]=min(d[x],d[cur]+w[cur][x]);
            pq.push(make_pair(d[x],x));//将更新后的d连同下标放入优先队列
        }
    }
}

void dijkstra(int cur){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(d,inf,sizeof(d)),d[cur]=0;
    while(!pq.empty())pq.pop();

    pq.push(make_pair(d[cur],cur));
    while(!pq.empty()){
        cur=pq.top().second;//最小的d的下标
        pq.pop();
        if(vis[cur])continue;
        vis[cur]=true;
        update(cur);
    }
}

int main(){
    int m;
    cin>>n>>m;
    while(m--){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        w[x][y]=w[y][x]=z;
        nxt[x].push_back(y);
        nxt[y].push_back(x);
    }
    dijkstra(1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<i<<ends<<d[i]<<endl;
    }
}