算法导论系列--Divide & Conquer(分而治之)

 

分而治之(Divide and conquer)

 

    Divide and conquer(分治法)的基本思想是把一个大问题分解成若干个小问题，把小问题逐个击破后组合起来，得出结果。算法步骤如下：

    (1) Divide: 按一定预设条件把问题分解为若干。

    (2) Conquer: 解决每个子问题(通常是递归)

    (3) Combine: 各子问题的组合

    下面举几个例子说明

找金币

   给出若干金币，其中有一个是假的，假金币比真金币稍微轻一点。现有一天平，用最快的方法找出假金币。

   (1) Divide: 把金币分成相等个数的两堆(若奇数，抽起一块金币)

   (2) Conquer:  用天平称，递归地在较轻的一堆中搜索

   (3) Combine: 不需要合并。

归并排序(Merge sort)

   归并排序是把两个或两个以上有序序列合并成一个新的(规模更大)的有序序列。最初是两个相邻的数归并，接着扩大到四个四个归并，一直扩大到整个序列。

  (1) Divide: 不需要分割。

   (2) Conquer: 递归地排列子序列，使其有序。(两个数时只需要判断大小来交换)

   (3) Combine: 合并两个有序子序列，(把两个子序列元素按大小顺序归并到新序列)

   算法规模： T(n) = 2T(n/2) + Θ(n)

   由Master method可得 T(n) =Θ(n lgn) (lg为2为底的对数)

归并排序过程：

     初始序列[8] [4] [5] [6] [2] [1] [7] [3]

     归并到b [4 8] [5 6] [1 2] [3 7]

    复制到a [4 8] [5 6] [1 2] [3 7]

    归并到b [4 5 6 8] [1 2 3 7]

    复制到a [4 5 6 8] [1 2 3 7]

    归并到b [1 2 3 4 5 6 7 8]

    复制到a [1 2 3 4 5 6 7 8]

指数运算

   计算Xⁿ 最直接的方法是把X相乘n次，显然算法规模为Θ(n)。看看分治法如何完成。

 (1) Divide: 若n为偶数，分成X ^n/2 X^n/2  若n为奇数 分成X X ^n/2 X^n/2

 (2) Conquer: 递归地计算 X^n/2

 (3) Combine: 把两个X^n/2 相乘，如果n为奇数再乘以X

 算法规模： T(n) = T(n/2) +Θ(1)

 由Master method 可得 T(n) =Θ(lgn)

二分搜索(Binary search)

  二分搜索的思想是先确定待查记录的范围，然后逐步缩小范围直到找到记录为止，适用于有序序列的查找。

   (1) divide: 比较待查元素和中间元素，确定待查元素所属的区域。

   (2) conquer: 递归地在待查元素所属子序列中搜索

   (3) combine: 不需要合并

   算法细节可参见任一本数据结构与算法教材。

单峰搜索(Unimodal search)

     单峰序列是这样一个序列： 序列某位置m有最大值, m之前为上升序列，m之后为下降序列，好像一个山峰。单峰搜索即找出峰值的位置，其思想跟二分搜索相似，只是判断准则稍微改变(留待读者思考)。

     举一个单峰搜索的应用。由一系列点P(x,y)组成的凸多边形(convex, 所有内角>180)，按逆时针(或顺时针) 把各点坐标排成一个序列。显然这个序列的x或y分量是一个单峰序列。为找出最左/最右/最上/最下的点，问题就转化为对x或y的单峰搜索。

矩阵相乘 (Matrix multiplication)

   按定义进行矩阵相乘的算法复杂度为Θ(n³) . 若把矩阵按某种规则分块，然后逐块相乘，可以有效改进效率。Strassen算法可以把矩阵相乘效率提高到Θ(n^2.81)，但是该算法存在不少缺点，现时较新的矩阵相乘算法可以到Θ(n^2.37)。因篇幅所限，Strassen算法详情请参阅相关资料。

参考书目:

  <数据结构算法与应用--C++语言描述> SartajSahni 第14章

 <Introduction to Algorithm 2nd edition> MIT  chapter 7, chapter 28