30、图论中的标签与连接数研究

图论中的标签与连接数研究

1. 图的面魔法投影标签

在图论研究中，涉及到一些特定图的面魔法投影标签问题。对于特定的图 (P_{4,4})，存在 144 个不同的 (C_4) 面魔法投影标签（在射影平面上的对称性下）。这 144 个标签可分为两类：
- 48 个是中心平衡的，其具体标签情况有相关定理（这里假设为定理 2）进行列举。
- 另外 96 个与垂直成对平衡标签是投影标签等价的，这些标签在定理 3 中有详细列出。

相关计算与推理

在计算过程中，有如下的等式推导：
- 设 (x_{2,2}) 是 (1 + c_1d_1 + (1 - c_2)d_2) 或 (1 + (1 - c_1)d_1 + c_2d_2) 这两个剩余值之一，我们设定 (x_{2,2} = 1 + e(c_1d_1 + (1 - c_2)d_2) + (1 - e)((1 - c_1)d_1 + c_2d_2))，其中 (e \in {0, 1})。
- 已知 (x_{3,1} + x_{3,2} = 2 + d_1 + d_2 + d_3 + d_4) 且 (x_{3,2} = x_{2,2} + d_3 + d_4)，由此可推出 (x_{2,2} + x_{3,1} = 2 + d_1 + d_2)，进而得到 (x_{3,1} = 1 + (1 - e)(c_1d_1 + (1 - c_2)d_2) + e((1 - c_1)d_1 + c_2d_2))。

图同构的应用

• 可以利用由 (H)、(V) 或 (R_{180}) 诱导的图同构来确保 (d_3 > 0) 和 (d_4 > 0)。