18、$H_{\infty}$ 性能相关内容及控制设计分析

$H_{\infty}$ 性能相关内容及控制设计分析

1. $H_{\infty}$ 性能相关基础

1.1 目标函数与性能条件

考虑与跟踪误差相关的 $H_{\infty}$ 性能，由目标函数给出：
[
\mathcal{J}_{\infty}=\dot{V}(t)+z(t)^Tz(t)-\gamma^2w(t)^Tw(t)<0 \quad (30)
]
其中，$z(t)=e(t)=\hat{C}\hat{x}(t)$，且 $\hat{C}=[I -I]$。

对于所有 $e(0)\in\mathcal{E}(P,1)\subset\mathcal{E}(P,\rho)$，若 $\mathcal{J} {\infty}<0$，则对于所有 $T > 0$，有：
[
\int {0}^{T}\mathcal{J} {\infty}=\int {0}^{T}\left(\dot{V}(t)+z(t)^Tz(t)-\gamma^2w(t)^Tw(t)\right)dt<0
]
由此可得以下两种情况：
- 当 $\hat{w}(t)=0$ 时：
[
V(T)-V(0)< - z(t)^Tz(t)\leq0
]
- 当 $\hat{w}(t)\neq0$ 时：
[
V(T)\leq V(0)+\gamma^2\int_{0}^{\infty}w(t)^Tw(t)dt\leq1+\gamma^2\rho^2
]
记 $\rho = 1 + \gamma